Kalkulus Contoh

$\frac{d s}{d t} = 20 t {(5 t^{2} - 3)}^{3}$ , $s (1) = 9$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d s = 20 t {(5 t^{2} - 3)}^{3} d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d s = \int 20 t {(5 t^{2} - 3)}^{3} d t$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$s + C_{1} = \int 20 t {(5 t^{2} - 3)}^{3} d t$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $20$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $20$ keluar dari integral.

$s + C_{1} = 20 \int t {(5 t^{2} - 3)}^{3} d t$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u = 5 t^{2} - 3$ . Kemudian $d u = 10 t d t$ sehingga $\frac{1}{10} d u = t d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u = 5 t^{2} - 3$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $5 t^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d t} [5 t^{2} - 3]$

Langkah 2.3.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 t^{2} - 3$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Langkah 2.3.2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d t} [5 t^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.3.1

Karena $5$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $5 t^{2}$ terhadap $t$ adalah $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Langkah 2.3.2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$5 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3]$

Langkah 2.3.2.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$10 t + \frac{d}{d t} [- 3]$

Langkah 2.3.2.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.4.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 3$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$10 t + 0$

Langkah 2.3.2.1.4.2

Tambahkan $10 t$ dan $0$ .

$10 t$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$s + C_{1} = 20 \int u^{3} \frac{1}{10} d u$

Langkah 2.3.3

Gabungkan $u^{3}$ dan $\frac{1}{10}$ .

$s + C_{1} = 20 \int \frac{u^{3}}{10} d u$

Langkah 2.3.4

Karena $\frac{1}{10}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{10}$ keluar dari integral.

$s + C_{1} = 20 (\frac{1}{10} \int u^{3} d u)$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Gabungkan $\frac{1}{10}$ dan $20$ .

$s + C_{1} = \frac{20}{10} \int u^{3} d u$

Langkah 2.3.5.2

Hapus faktor persekutuan dari $20$ dan $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Faktorkan $10$ dari $20$ .

$s + C_{1} = \frac{10 \cdot 2}{10} \int u^{3} d u$

Langkah 2.3.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.2.1

Faktorkan $10$ dari $10$ .

$s + C_{1} = \frac{10 \cdot 2}{10 (1)} \int u^{3} d u$

Langkah 2.3.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$s + C_{1} = \frac{10 \cdot 2}{10 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Langkah 2.3.5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$s + C_{1} = \frac{2}{1} \int u^{3} d u$

Langkah 2.3.5.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$s + C_{1} = 2 \int u^{3} d u$

Langkah 2.3.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{3}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ sebagai $2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{2}{4} u^{4} + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} u^{4} + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$s + C_{1} = \frac{1}{2} u^{4} + C_{2}$

Langkah 2.3.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $5 t^{2} - 3$ .

$s + C_{1} = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $t$ dan $9$ untuk $s$ padda $s = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + K$ .

$9 = \frac{1}{2} {(5 \cdot 1^{2} - 3)}^{4} + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{1}{2} \cdot {(5 \cdot 1^{2} - 3)}^{4} + K = 9$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(5 \cdot 1^{2} - 3)}^{4} + K = 9$

Langkah 4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{2} \cdot {(5 \cdot 1 - 3)}^{4} + K = 9$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(5 - 3)}^{4} + K = 9$

Langkah 4.2.2

Kurangi $3$ dengan $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{4} + K = 9$

Langkah 4.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $2^{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 9$

Langkah 4.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 9$

Langkah 4.2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2^{3} + K = 9$

Langkah 4.2.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$8 + K = 9$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kurangkan $8$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = 9 - 8$

Langkah 4.3.2

Kurangi $8$ dengan $9$ .

$K = 1$

Langkah 5

Substitusikan $1$ untuk $K$ dalam $s = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $1$ untuk $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(5 t^{2} - 3)}^{4} + 1$

Langkah 5.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Gunakan Teorema Binomial.

$s = \frac{1}{2} ({(5 t^{2})}^{4} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $5 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (5^{4} {(t^{2})}^{4} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Langkah 5.2.2.2

Naikkan $5$ menjadi pangkat $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 {(t^{2})}^{4} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Langkah 5.2.2.3

Kalikan eksponen dalam ${(t^{2})}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{2 \cdot 4} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Langkah 5.2.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 {(5 t^{2})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Langkah 5.2.2.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $5 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 (5^{3} {(t^{2})}^{3}) \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Langkah 5.2.2.5

Naikkan $5$ menjadi pangkat $3$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 (125 {(t^{2})}^{3}) \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Langkah 5.2.2.6

Kalikan eksponen dalam ${(t^{2})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.6.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 (125 t^{2 \cdot 3}) \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Langkah 5.2.2.6.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 4 (125 t^{6}) \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Langkah 5.2.2.7

Kalikan $125$ dengan $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} + 500 t^{6} \cdot - 3 + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Langkah 5.2.2.8

Kalikan $- 3$ dengan $500$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 {(5 t^{2})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Langkah 5.2.2.9

Terapkan kaidah hasil kali ke $5 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 (5^{2} {(t^{2})}^{2}) {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Langkah 5.2.2.10

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 (25 {(t^{2})}^{2}) {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Langkah 5.2.2.11

Kalikan eksponen dalam ${(t^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.11.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 (25 t^{2 \cdot 2}) {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Langkah 5.2.2.11.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 6 (25 t^{4}) {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Langkah 5.2.2.12

Kalikan $25$ dengan $6$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 150 t^{4} {(- 3)}^{2} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Langkah 5.2.2.13

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 150 t^{4} \cdot 9 + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Langkah 5.2.2.14

Kalikan $9$ dengan $150$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} + 4 (5 t^{2}) {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Langkah 5.2.2.15

Kalikan $5$ dengan $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} + 20 t^{2} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Langkah 5.2.2.16

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $3$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} + 20 t^{2} \cdot - 27 + {(- 3)}^{4}) + 1$

Langkah 5.2.2.17

Kalikan $- 27$ dengan $20$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} - 540 t^{2} + {(- 3)}^{4}) + 1$

Langkah 5.2.2.18

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $4$ .

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8} - 1500 t^{6} + 1350 t^{4} - 540 t^{2} + 81) + 1$

Langkah 5.2.3

Terapkan sifat distributif.

$s = \frac{1}{2} (625 t^{8}) + \frac{1}{2} (- 1500 t^{6}) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Kalikan $\frac{1}{2} (625 t^{8})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1.1

Gabungkan $625$ dan $\frac{1}{2}$ .

$s = \frac{625}{2} t^{8} + \frac{1}{2} (- 1500 t^{6}) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

Langkah 5.2.4.1.2

Gabungkan $\frac{625}{2}$ dan $t^{8}$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (- 1500 t^{6}) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

Langkah 5.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 1500 t^{6}$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 750 t^{6})) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

Langkah 5.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 750 t^{6})) + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

Langkah 5.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + \frac{1}{2} (1350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

Langkah 5.2.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.3.1

Faktorkan $2$ dari $1350 t^{4}$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (675 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

Langkah 5.2.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (675 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

Langkah 5.2.4.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} + \frac{1}{2} (- 540 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

Langkah 5.2.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 540 t^{2}$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 270 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

Langkah 5.2.4.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 270 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

Langkah 5.2.4.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{1}{2} \cdot 81 + 1$

Langkah 5.2.4.5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $81$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{81}{2} + 1$

Langkah 5.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{81}{2} + \frac{2}{2}$

Langkah 5.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{81 + 2}{2}$

Langkah 5.5

Tambahkan $81$ dan $2$ .

$s = \frac{625 t^{8}}{2} - 750 t^{6} + 675 t^{4} - 270 t^{2} + \frac{83}{2}$