Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = e^{2 x + 3 y}$ $y (0) = 0$

Langkah 1

Biarkan $v = e^{2 x + 3 y}$ . Masukkan $v$ untuk semua kejadian $e^{2 x + 3 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = v$

Langkah 2

Tentukan $\frac{d v}{d x}$ dengan mendiferensiasikan $e^{2 x + 3 y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x + 3 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 x + 3 y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x + 3 y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + 3 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 3 y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + 3 y} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Langkah 2.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + 3 y} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + 3 y} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Langkah 2.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + 3 y} (2 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Langkah 2.6

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 y$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + 3 y} (2 + 3 \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.7

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{2 x + 3 y} (2 + 3 y')$

Langkah 3

Substitusikan $v$ untuk $e^{2 x + 3 y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (2 + 3 y')$

Langkah 4

Substitusikan kembali turunan ke persamaan diferensial.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} - \frac{2}{3} = v$

Langkah 5

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Selesaikan $\frac{d v}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Tambahkan $\frac{2}{3}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} = v + \frac{2}{3}$

Langkah 5.1.2

Kalikan kedua ruas dengan $3 v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} (3 v) = (v + \frac{2}{3}) (3 v)$

Langkah 5.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1.1

Sederhanakan $\frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} (3 v)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$3 \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} v = (v + \frac{2}{3}) (3 v)$

Langkah 5.1.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 v$ .

$3 \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} v = (v + \frac{2}{3}) (3 v)$

Langkah 5.1.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} v = (v + \frac{2}{3}) (3 v)$

Langkah 5.1.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (v + \frac{2}{3}) (3 v)$

Langkah 5.1.3.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (v + \frac{2}{3}) (3 v)$

Langkah 5.1.3.1.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} = (v + \frac{2}{3}) (3 v)$

Langkah 5.1.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.2.1

Sederhanakan $(v + \frac{2}{3}) (3 v)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d v}{d x} = v (3 v) + \frac{2}{3} (3 v)$

Langkah 5.1.3.2.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d v}{d x} = 3 v \cdot v + \frac{2}{3} (3 v)$

Langkah 5.1.3.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.2.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d v}{d x} = 3 v \cdot v + \frac{2}{3} (3 v)$

Langkah 5.1.3.2.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} = 3 v \cdot v + 2 v$

Langkah 5.1.3.2.1.4

Kalikan $v$ dengan $v$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.2.1.4.1

Pindahkan $v$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 (v \cdot v) + 2 v$

Langkah 5.1.3.2.1.4.2

Kalikan $v$ dengan $v$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 v^{2} + 2 v$

Langkah 5.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{3 v^{2} + 2 v}$ .

$\frac{1}{3 v^{2} + 2 v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 v^{2} + 2 v} (3 v^{2} + 2 v)$

Langkah 5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3 v^{2} + 2 v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3 v^{2} + 2 v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 v^{2} + 2 v} (3 v^{2} + 2 v)$

Langkah 5.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3 v^{2} + 2 v} \frac{d v}{d x} = 1$

Langkah 5.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{3 v^{2} + 2 v} d v = 1 d x$

Langkah 6

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{3 v^{2} + 2 v} d v = \int d x$

Langkah 6.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.1

Faktorkan $v$ dari $3 v^{2} + 2 v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.1.1

Faktorkan $v$ dari $3 v^{2}$ .

$\frac{1}{v (3 v) + 2 v}$

Langkah 6.2.1.1.1.2

Faktorkan $v$ dari $2 v$ .

$\frac{1}{v (3 v) + v \cdot 2}$

Langkah 6.2.1.1.1.3

Faktorkan $v$ dari $v (3 v) + v \cdot 2$ .

$\frac{1}{v (3 v + 2)}$

Langkah 6.2.1.1.2

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. karena faktor pada penyebutnya linear, letakkan sebuah variabel di tempat $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{3 v + 2}$

Langkah 6.2.1.1.3

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah $v (3 v + 2)$ .

$\frac{1 (v (3 v + 2))}{v (3 v + 2)} = \frac{A (v (3 v + 2))}{v} + \frac{B (v (3 v + 2))}{3 v + 2}$

Langkah 6.2.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (v (3 v + 2))}{v (3 v + 2)} = \frac{A (v (3 v + 2))}{v} + \frac{B (v (3 v + 2))}{3 v + 2}$

Langkah 6.2.1.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 (3 v + 2)}{3 v + 2} = \frac{A (v (3 v + 2))}{v} + \frac{B (v (3 v + 2))}{3 v + 2}$

Langkah 6.2.1.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $3 v + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (3 v + 2)}{3 v + 2} = \frac{A (v (3 v + 2))}{v} + \frac{B (v (3 v + 2))}{3 v + 2}$

Langkah 6.2.1.1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = \frac{A (v (3 v + 2))}{v} + \frac{B (v (3 v + 2))}{3 v + 2}$

Langkah 6.2.1.1.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan dari $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.6.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = \frac{A (v (3 v + 2))}{v} + \frac{B (v (3 v + 2))}{3 v + 2}$

Langkah 6.2.1.1.6.1.2

Bagilah $A (3 v + 2)$ dengan $1$ .

$1 = A (3 v + 2) + \frac{B (v (3 v + 2))}{3 v + 2}$

Langkah 6.2.1.1.6.2

Terapkan sifat distributif.

$1 = A (3 v) + A \cdot 2 + \frac{B (v (3 v + 2))}{3 v + 2}$

Langkah 6.2.1.1.6.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$1 = 3 A v + A \cdot 2 + \frac{B (v (3 v + 2))}{3 v + 2}$

Langkah 6.2.1.1.6.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $A$ .

$1 = 3 A v + 2 A + \frac{B (v (3 v + 2))}{3 v + 2}$

Langkah 6.2.1.1.6.5

Bagilah $B v$ dengan $1$ .

$1 = 3 A v + 2 A + B v$

Langkah 6.2.1.1.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.7.1

Pindahkan $A$ .

$1 = 3 v A + 2 A + B v$

Langkah 6.2.1.1.7.2

Susun kembali $B$ dan $v$ .

$1 = 3 v A + 2 A + B v$

Langkah 6.2.1.1.7.3

Pindahkan $2 A$ .

$1 = 3 v A + B v + 2 A$

Langkah 6.2.1.2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $v$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = 3 A + B$

Langkah 6.2.1.2.2

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $v$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = 2 A$

Langkah 6.2.1.2.3

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$0 = 3 A + B$

$1 = 2 A$

$0 = 3 A + B$

$1 = 2 A$

Langkah 6.2.1.3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.1

Selesaikan $A$ dalam $1 = 2 A$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.1.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $2 A = 1$ .

$2 A = 1$

$0 = 3 A + B$

Langkah 6.2.1.3.1.2

Bagi setiap suku pada $2 A = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.1.2.1

Bagilah setiap suku di $2 A = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

Langkah 6.2.1.3.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

Langkah 6.2.1.3.1.2.2.1.2

Bagilah $A$ dengan $1$ .

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = 3 A + B$

Langkah 6.2.1.3.2

Substitusikan semua kemunculan $A$ dengan $\frac{1}{2}$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.2.1

Substitusikan semua kemunculan $A$ dalam $0 = 3 A + B$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$0 = 3 (\frac{1}{2}) + B$

$A = \frac{1}{2}$

Langkah 6.2.1.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.2.2.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{2}$ .

$0 = \frac{3}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = \frac{3}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = \frac{3}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

Langkah 6.2.1.3.3

Selesaikan $B$ dalam $0 = \frac{3}{2} + B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{3}{2} + B = 0$ .

$\frac{3}{2} + B = 0$

$A = \frac{1}{2}$

Langkah 6.2.1.3.3.2

Kurangkan $\frac{3}{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$B = - \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = - \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

Langkah 6.2.1.3.4

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

$B = - \frac{3}{2} A = \frac{1}{2}$

Langkah 6.2.1.3.5

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$B = - \frac{3}{2}, A = \frac{1}{2}$

Langkah 6.2.1.4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{v} + \frac{B}{3 v + 2}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ dan $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{v} + \frac{- \frac{3}{2}}{3 v + 2}$

Langkah 6.2.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.5.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{v} + \frac{- \frac{3}{2}}{3 v + 2}$

Langkah 6.2.1.5.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{2 v} + \frac{- \frac{3}{2}}{3 v + 2}$

Langkah 6.2.1.5.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{2 v} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3 v + 2}$

Langkah 6.2.1.5.4

Kalikan $\frac{1}{3 v + 2}$ dengan $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2 v} - \frac{3}{(3 v + 2) \cdot 2}$

Langkah 6.2.1.5.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $3 v + 2$ .

$\int \frac{1}{2 v} - \frac{3}{2 (3 v + 2)} d v = \int d x$

Langkah 6.2.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{1}{2 v} d v + \int - \frac{3}{2 (3 v + 2)} d v = \int d x$

Langkah 6.2.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $v$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{v} d v + \int - \frac{3}{2 (3 v + 2)} d v = \int d x$

Langkah 6.2.4

Integral dari $\frac{1}{v}$ terhadap $v$ adalah $\ln (| v |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) + \int - \frac{3}{2 (3 v + 2)} d v = \int d x$

Langkah 6.2.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $v$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \int \frac{3}{2 (3 v + 2)} d v = \int d x$

Langkah 6.2.6

Karena $\frac{3}{2}$ konstan terhadap $v$ , pindahkan $\frac{3}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - (\frac{3}{2} \int \frac{1}{3 v + 2} d v) = \int d x$

Langkah 6.2.7

Biarkan $u_{2} = 3 v + 2$ . Kemudian $d u_{2} = 3 d v$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{2} = d v$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.7.1

Biarkan $u_{2} = 3 v + 2$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.7.1.1

Diferensialkan $3 v + 2$ .

$\frac{d}{d v} [3 v + 2]$

Langkah 6.2.7.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 v + 2$ terhadap $v$ adalah $\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [2]$ .

$\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [2]$

Langkah 6.2.7.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d v} [3 v]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.7.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $v$ , turunan dari $3 v$ terhadap $v$ adalah $3 \frac{d}{d v} [v]$ .

$3 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [2]$

Langkah 6.2.7.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ adalah $n v^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [2]$

Langkah 6.2.7.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 + \frac{d}{d v} [2]$

Langkah 6.2.7.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.7.1.4.1

Karena $2$ konstan terhadap $v$ , turunan dari $2$ terhadap $v$ adalah $0$ .

$3 + 0$

Langkah 6.2.7.1.4.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$3$

Langkah 6.2.7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2} = \int d x$

Langkah 6.2.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.8.1

Kalikan $\frac{1}{u_{2}}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 3} d u_{2} = \int d x$

Langkah 6.2.8.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3}{2} \int \frac{1}{3 u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Langkah 6.2.9

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int d x$

Langkah 6.2.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.10.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Langkah 6.2.10.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Langkah 6.2.10.3

Hapus faktor persekutuan dari $3$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.10.3.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3 (1)}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Langkah 6.2.10.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.10.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Langkah 6.2.10.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Langkah 6.2.10.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Langkah 6.2.11

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d x$

Langkah 6.2.12

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \ln (| v |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d x$

Langkah 6.3

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} \ln (| v |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = x + C_{4}$

Langkah 6.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| v |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) = x + C$

Langkah 7

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (| v |)$ .

$\frac{\ln (| v |)}{2} - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) = x + C$

Langkah 7.1.1.2

Gabungkan $\ln (| u_{2} |)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (| v |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} = x + C$

Langkah 7.2

Kalikan setiap suku pada $\frac{\ln (| v |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} = x + C$ dengan $2$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{\ln (| v |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} = x + C$ dengan $2$ .

$\frac{\ln (| v |)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\ln (| v |)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 7.2.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| v |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 7.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\ln (| u_{2} |)}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 7.2.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 7.2.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 7.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = 2 \cdot x + C \cdot 2$

Langkah 7.2.3.1.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $C$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = 2 x + 2 C$

Langkah 7.3

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = 2 x + 2 C$

Langkah 7.4

Untuk menyelesaikan $v$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |})} = e^{2 x + 2 C}$

Langkah 7.5

Tulis kembali $\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = 2 x + 2 C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{2 x + 2 C} = \frac{| v |}{| u_{2} |}$

Langkah 7.6

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{2 x + 2 C}$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{2 x + 2 C}$

Langkah 7.6.2

Kalikan kedua ruas dengan $| u_{2} |$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{2 x + 2 C} | u_{2} |$

Langkah 7.6.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $| u_{2} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{2 x + 2 C} | u_{2} |$

Langkah 7.6.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| v | = e^{2 x + 2 C} | u_{2} |$

Langkah 7.6.4

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{2 x + 2 C} | u_{2} |$ .

$| v | = | u_{2} | e^{2 x + 2 C}$

Langkah 7.6.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$v = \pm | u_{2} | e^{2 x + 2 C}$

Langkah 8

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$v = \pm | u_{2} | e^{2 x + C}$

Langkah 8.2

Tulis kembali $e^{2 x + C}$ sebagai $e^{2 x} e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{2 x} e^{C})$

Langkah 8.3

Susun kembali $e^{2 x}$ dan $e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{C} e^{2 x})$

Langkah 8.4

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$v = C | u_{2} | e^{2 x}$

Langkah 9

Ganti semua kemunculan $v$ dengan $e^{2 x + 3 y}$ .

$e^{2 x + 3 y} = C | u_{2} | e^{2 x}$

Langkah 10

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{2 x + 3 y}) = \ln (C | u_{2} | e^{2 x})$

Langkah 10.2

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Perluas $\ln (e^{2 x + 3 y})$ dengan memindahkan $2 x + 3 y$ ke luar logaritma.

$(2 x + 3 y) \ln (e) = \ln (C | u_{2} | e^{2 x})$

Langkah 10.2.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$(2 x + 3 y) \cdot 1 = \ln (C | u_{2} | e^{2 x})$

Langkah 10.2.3

Kalikan $2 x + 3 y$ dengan $1$ .

$2 x + 3 y = \ln (C | u_{2} | e^{2 x})$

Langkah 10.3

Perluas sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Tulis kembali $\ln (C | u_{2} | e^{2 x})$ sebagai $\ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{2 x})$ .

$2 x + 3 y = \ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{2 x})$

Langkah 10.3.2

Tulis kembali $\ln (C | u_{2} |)$ sebagai $\ln (C) + \ln (| u_{2} |)$ .

$2 x + 3 y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + \ln (e^{2 x})$

Langkah 10.3.3

Perluas $\ln (e^{2 x})$ dengan memindahkan $2 x$ ke luar logaritma.

$2 x + 3 y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + 2 x \ln (e)$

Langkah 10.3.4

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$2 x + 3 y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + 2 x \cdot 1$

Langkah 10.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 x + 3 y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + 2 x$

Langkah 10.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$2 x + 3 y = \ln (C | u_{2} |) + 2 x$

Langkah 10.5

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 y = \ln (C | u_{2} |) + 2 x - 2 x$

Langkah 10.5.2

Gabungkan suku balikan dalam $\ln (C | u_{2} |) + 2 x - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.1

Kurangi $2 x$ dengan $2 x$ .

$3 y = \ln (C | u_{2} |) + 0$

Langkah 10.5.2.2

Tambahkan $\ln (C | u_{2} |)$ dan $0$ .

$3 y = \ln (C | u_{2} |)$

Langkah 10.6

Bagi setiap suku pada $3 y = \ln (C | u_{2} |)$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.6.1

Bagilah setiap suku di $3 y = \ln (C | u_{2} |)$ dengan $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{3}$

Langkah 10.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{3}$

Langkah 10.6.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{3}$

Langkah 11

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $0$ untuk $y$ padda $y = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{3}$ .

$0 = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{3}$

Langkah 12

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$\ln (C | u_{2} |) = 0$

Langkah 12.2

Selesaikan persamaan untuk $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Untuk menyelesaikan $C$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (C | u_{2} |)} = e^{0}$

Langkah 12.2.2

Tulis kembali $\ln (C | u_{2} |) = 0$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{0} = C | u_{2} |$

Langkah 12.2.3

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $C | u_{2} | = e^{0}$ .

$C | u_{2} | = e^{0}$

Langkah 12.2.3.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$C | u_{2} | = 1$

Langkah 12.2.3.3

Bagi setiap suku pada $C | u_{2} | = 1$ dengan $| u_{2} |$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.3.1

Bagilah setiap suku di $C | u_{2} | = 1$ dengan $| u_{2} |$ .

$\frac{C | u_{2} |}{| u_{2} |} = \frac{1}{| u_{2} |}$

Langkah 12.2.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $| u_{2} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{C | u_{2} |}{| u_{2} |} = \frac{1}{| u_{2} |}$

Langkah 12.2.3.3.2.1.2

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$C = \frac{1}{| u_{2} |}$

Langkah 13

Substitusikan $\frac{1}{| u_{2} |}$ untuk $C$ dalam $y = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{3}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Substitusikan $\frac{1}{| u_{2} |}$ untuk $C$ .

$y = \frac{\ln (\frac{1}{| u_{2} |} | u_{2} |)}{3}$

Langkah 13.2

Tulis kembali $\frac{\ln (\frac{1}{| u_{2} |} | u_{2} |)}{3}$ sebagai $\frac{1}{3} \ln (\frac{1}{| u_{2} |} | u_{2} |)$ .

$y = \frac{1}{3} \ln (\frac{1}{| u_{2} |} | u_{2} |)$

Langkah 13.3

Sederhanakan $\frac{1}{3} \ln (\frac{1}{| u_{2} |} | u_{2} |)$ dengan memindahkan $\frac{1}{3}$ ke dalam logaritma.

$y = \ln ({(\frac{1}{| u_{2} |} | u_{2} |)}^{\frac{1}{3}})$

Langkah 13.4

Batalkan faktor persekutuan dari $| u_{2} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \ln ({(\frac{1}{| u_{2} |} | u_{2} |)}^{\frac{1}{3}})$

Langkah 13.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \ln (1^{\frac{1}{3}})$

Langkah 13.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$y = \ln (1)$

Langkah 13.6

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$y = 0$