Kalkulus Contoh

$\frac{2 x}{y} d x - \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $\frac{2 x}{y} d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = - \frac{2 x}{y} d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{y}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} (- \frac{x^{2}}{y^{2}}) d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- \frac{y}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{y}{x^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- y}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$\frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Langkah 3.2.3

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y \cdot y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Langkah 3.2.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y \cdot y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Langkah 3.2.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Langkah 3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Langkah 3.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{y}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} d x$

Langkah 3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{y}{x^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- y}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} d x$

Langkah 3.5.2

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} d x$

Langkah 3.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} d x$

Langkah 3.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x^{2}} (2 x) d x$

Langkah 3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x \cdot x} (2 x) d x$

Langkah 3.6.2

Faktorkan $x$ dari $2 x$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x \cdot x} (x \cdot 2) d x$

Langkah 3.6.3

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x \cdot x} (x \cdot 2) d x$

Langkah 3.6.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x} \cdot 2 d x$

Langkah 3.7

Gabungkan $\frac{- 1}{x}$ dan $2$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1 \cdot 2}{x} d x$

Langkah 3.8

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{x} d x$

Langkah 3.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{2}{x} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int - \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 4.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Langkah 4.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.4

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \ln (| y |) = - 2 \ln (| x |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$- \ln (| y |) + 2 \ln (| x |) = C$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan $2 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$- \ln (| y |) + \ln ({| x |}^{2}) = C$

Langkah 5.2.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$- \ln (| y |) + \ln (x^{2}) = C$

Langkah 5.3

Kurangkan $\ln (x^{2})$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \ln (| y |) = C - \ln (x^{2})$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $- \ln (| y |) = C - \ln (x^{2})$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $- \ln (| y |) = C - \ln (x^{2})$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \ln (| y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\ln (| y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

Langkah 5.4.2.2

Bagilah $\ln (| y |)$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| y |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

Langkah 5.4.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot C$ sebagai $- C$ .

$\ln (| y |) = - C + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

Langkah 5.4.3.1.3

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\ln (| y |) = - C + \frac{\ln (x^{2})}{1}$

Langkah 5.4.3.1.4

Bagilah $\ln (x^{2})$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) = - C + \ln (x^{2})$

Langkah 5.5

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y |) - \ln (x^{2}) = - C$

Langkah 5.6

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{x^{2}}) = - C$

Langkah 5.7

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| y |}{x^{2}})} = e^{- C}$

Langkah 5.8

Tulis kembali $\ln (\frac{| y |}{x^{2}}) = - C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{| y |}{x^{2}}$

Langkah 5.9

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| y |}{x^{2}} = e^{- C}$ .

$\frac{| y |}{x^{2}} = e^{- C}$

Langkah 5.9.2

Kalikan kedua ruas dengan $x^{2}$ .

$\frac{| y |}{x^{2}} x^{2} = e^{- C} x^{2}$

Langkah 5.9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y |}{x^{2}} x^{2} = e^{- C} x^{2}$

Langkah 5.9.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| y | = e^{- C} x^{2}$

Langkah 5.9.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.3.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- C} x^{2}$ .

$| y | = x^{2} e^{- C}$

Langkah 5.9.4

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm x^{2} e^{- C}$

Langkah 6

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm x^{2} C$

Langkah 6.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C x^{2}$