Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \sin (x)$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $y$ dari $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = \sin (x)$

Langkah 1.2

Susun kembali $y$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \sin (x)$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{\ln (x)}$

Langkah 2.4

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \sin (x)$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x)$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \sin (x)$

Langkah 3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \sin (x)$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [x y] = x \sin (x)$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x \sin (x) d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$x y = \int x \sin (x) d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \sin (x)$ .

$x y = x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Langkah 7.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$x y = x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$x y = x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

Langkah 7.3.2

Kalikan $\int \cos (x) d x$ dengan $1$ .

$x y = x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

Langkah 7.4

Integral dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\sin (x)$ .

$x y = x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$

Langkah 7.5

Tulis kembali $x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$ sebagai $- x \cos (x) + \sin (x) + C$ .

$x y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $x y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $x y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$ dengan $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y}{x} = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{- x \cos (x)}{x} + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 8.3.1.2

Bagilah $- \cos (x)$ dengan $1$ .

$y = - \cos (x) + \frac{\sin (x)}{x} + \frac{C}{x}$