Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 2 y - 4 x$

Langkah 1

Kurangkan $2 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d x} - 2 y = - 4 x$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int - 2 d x}$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{- 2 x + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- 2 x}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{- 2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} (- 4 x)$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} (- 4 x)$

Langkah 3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = - 4 e^{- 2 x} x$

Langkah 3.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = - 4 e^{- 2 x} x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = - 4 x e^{- 2 x}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = - 4 x e^{- 2 x}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int - 4 x e^{- 2 x} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$e^{- 2 x} y = \int - 4 x e^{- 2 x} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 4$ keluar dari integral.

$e^{- 2 x} y = - 4 \int x e^{- 2 x} d x$

Langkah 7.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Gabungkan $e^{- 2 x}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Langkah 7.3.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Langkah 7.3.3

Gabungkan $e^{- 2 x}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Langkah 7.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Langkah 7.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Langkah 7.5.2

Kalikan $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ dengan $1$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Langkah 7.6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Langkah 7.7

Biarkan $u = - 2 x$ . Kemudian $d u = - 2 d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.1

Biarkan $u = - 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.1.1

Diferensialkan $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 7.7.1.2

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Langkah 7.7.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2$

Langkah 7.7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

Langkah 7.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Langkah 7.8.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Langkah 7.9

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Langkah 7.10

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Langkah 7.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.11.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Langkah 7.11.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Langkah 7.12

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Langkah 7.13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.13.1

Tulis kembali $- 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ sebagai $- 4 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Langkah 7.13.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.13.2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Langkah 7.13.2.2

Gabungkan $e^{- 2 x}$ dan $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Langkah 7.13.2.3

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Langkah 7.14

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Langkah 7.15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.15.1

Terapkan sifat distributif.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2}) - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Langkah 7.15.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.15.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{e^{- 2 x} x}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$e^{- 2 x} y = - 4 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Langkah 7.15.2.2

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$e^{- 2 x} y = 2 (- 2) \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Langkah 7.15.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{- 2 x} y = 2 \cdot - 2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Langkah 7.15.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{- 2 x} y = - 2 (- e^{- 2 x} x) - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Langkah 7.15.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Langkah 7.15.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.15.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{e^{- 2 x}}{4}$ ke dalam pembilangnya.

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) - 4 \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Langkah 7.15.4.2

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) + 4 (- 1) \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Langkah 7.15.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) + 4 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Langkah 7.15.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) - - e^{- 2 x} + C$

Langkah 7.15.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) + 1 e^{- 2 x} + C$

Langkah 7.15.6

Kalikan $e^{- 2 x}$ dengan $1$ .

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) + e^{- 2 x} + C$

Langkah 7.15.7

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} y = 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $e^{- 2 x} y = 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + C$ dengan $e^{- 2 x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $e^{- 2 x} y = 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + C$ dengan $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{2 x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- 2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{2 x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{2 x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- 2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{2 x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Langkah 8.3.1.1.2

Bagilah $2 x$ dengan $1$ .

$y = 2 x + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Langkah 8.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- 2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = 2 x + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Langkah 8.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = 2 x + 1 + \frac{C}{e^{- 2 x}}$