Kalkulus Contoh

$x \frac{d y}{d x} + 1 = x + y$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d y}{d x} + 1 - y = x$

Langkah 1.1.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d y}{d x} - y = x - 1$

Langkah 1.2

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} - y = x - 1$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Langkah 1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Langkah 1.3.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{- 1}{x}$

Langkah 1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

Langkah 1.5

Faktorkan $y$ dari $\frac{- y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x} = 1 + \frac{- 1}{x}$

Langkah 1.6

Susun kembali $y$ dan $\frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x} y = 1 + \frac{- 1}{x}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{- 1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{- 1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- \ln (x)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{- 1}$

Langkah 2.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Langkah 3.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Langkah 3.2.4

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Langkah 3.2.5

Kalikan $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Kalikan $\frac{y}{x}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Langkah 3.2.5.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Langkah 3.2.5.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Langkah 3.2.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Langkah 3.2.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Langkah 3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

Langkah 3.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x})$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$

Langkah 3.3.4

Kalikan $- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x \cdot x}$

Langkah 3.3.4.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{1} x}$

Langkah 3.3.4.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{1} x^{1}}$

Langkah 3.3.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{1 + 1}}$

Langkah 3.3.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 7.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 7.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 7.4

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 7.4.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 7.4.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - \int x^{- 2} d x$

Langkah 7.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C)$

Langkah 7.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Sederhanakan.

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) - - \frac{1}{x} + C$

Langkah 7.6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + 1 \frac{1}{x} + C$

Langkah 7.6.2.2

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Kurangkan $\ln (| x |)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{1}{x} y - \ln (| x |) = \frac{1}{x} + C$

Langkah 8.1.2

Kurangkan $\frac{1}{x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{1}{x} y - \ln (| x |) - \frac{1}{x} = C$

Langkah 8.1.3

Kurangkan $C$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{1}{x} y - \ln (| x |) - \frac{1}{x} - C = 0$

Langkah 8.1.4

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $y$ .

$\frac{y}{x} - \ln (| x |) - \frac{1}{x} - C = 0$

Langkah 8.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Tambahkan $\ln (| x |)$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{y}{x} - \frac{1}{x} - C = \ln (| x |)$

Langkah 8.2.2

Tambahkan $\frac{1}{x}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{y}{x} - C = \ln (| x |) + \frac{1}{x}$

Langkah 8.2.3

Tambahkan $C$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{y}{x} = \ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$

Langkah 8.3

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C) x$

Langkah 8.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} x = (\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C) x$

Langkah 8.4.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = (\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C) x$

Langkah 8.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1

Sederhanakan $(\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C) x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \ln (| x |) x + \frac{1}{x} x + C x$

Langkah 8.4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \ln (| x |) x + \frac{1}{x} x + C x$

Langkah 8.4.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \ln (| x |) x + 1 + C x$

Langkah 8.4.2.1.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.3.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (| x |) x + 1 + C x$ .

$y = x \ln (| x |) + 1 + C x$

Langkah 8.4.2.1.3.2

Pindahkan $1$ .

$y = x \ln (| x |) + C x + 1$

Langkah 8.4.2.1.3.3

Susun kembali $x \ln (| x |)$ dan $C x$ .

$y = C x + x \ln (| x |) + 1$