Kalkulus Contoh

$(4 x^{2} - y^{2}) d x - x y d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 4 x^{2} - y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x^{2} - y^{2}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{2} - y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Langkah 1.2.2

Karena $4 x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $4 x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y^{2}$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (2 y)$

Langkah 1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 y$

Langkah 1.4

Kurangi $2 y$ dengan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = - x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x y]$

Langkah 2.2

Karena $- y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x y$ terhadap $x$ adalah $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \cdot 1$

Langkah 2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $- 2 y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- y$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 y = - y$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$- 2 y = - y$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $- 2 y$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 4.2

Substitusikan $- y$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 y - - y}{N}$

Langkah 4.3

Substitusikan $- x y$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $- x y$ untuk $N$ .

$\frac{- 2 y - - y}{- x y}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $- 2 y - - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Faktorkan $y$ dari $- 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 2 - - y}{- x y}$

Langkah 4.3.2.1.2

Faktorkan $y$ dari $- - y$ .

$\frac{y \cdot - 2 + y (- - 1)}{- x y}$

Langkah 4.3.2.1.3

Faktorkan $y$ dari $y \cdot - 2 + y (- - 1)$ .

$\frac{y (- 2 - - 1)}{- x y}$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{y (- 2 + 1)}{- x y}$

Langkah 4.3.2.3

Tambahkan $- 2$ dan $1$ .

$\frac{y \cdot - 1}{- x y}$

Langkah 4.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \cdot - 1}{- x y}$

Langkah 4.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{- x}$

Langkah 4.3.4

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{1}{x}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Langkah 5.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Langkah 5.2.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = | x | + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(4 x^{2} - y^{2}) d x - x y d y = 0$ dengan faktor integral $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $4 x^{2} - y^{2}$ dengan $x$ .

$(4 x^{2} - y^{2}) x d x - x y d y = 0$

Langkah 6.2

Terapkan sifat distributif.

$(4 x^{2} x - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

Langkah 6.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Pindahkan $x$ .

$(4 (x \cdot x^{2}) - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

Langkah 6.3.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$(4 (x^{1} x^{2}) - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

Langkah 6.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(4 x^{1 + 2} - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

Langkah 6.3.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$(4 x^{3} - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

Langkah 6.4

Kalikan $- x y$ dengan $x$ .

$(4 x^{3} - y^{2} x) d x - x y x d y = 0$

Langkah 6.5

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Pindahkan $x$ .

$(4 x^{3} - y^{2} x) d x - (x \cdot x) y d y = 0$

Langkah 6.5.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$(4 x^{3} - y^{2} x) d x - x^{2} y d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - x^{2} y d y$

Langkah 8

Integralkan $N (x, y) = - x^{2} y$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Karena $- x^{2}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- x^{2}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = - x^{2} \int y d y$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 8.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Tulis kembali $- x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ sebagai $- x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = - x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2.2

Gabungkan $y^{2}$ dan $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

Langkah 8.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.1

Susun kembali suku-suku.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} y^{2} x^{2}) + C$

Langkah 8.3.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} y^{2}) x^{2} + C$

Langkah 8.3.3.3

Hilangkan tanda kurung.

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4 x^{3} - y^{2} x$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Gabungkan $y^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

Langkah 11.3.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

Langkah 11.3.3

Karena $- \frac{y^{2}}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{x^{2} y^{2}}{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

Langkah 11.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

Langkah 11.3.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 \frac{y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

Langkah 11.3.6

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

Langkah 11.3.7

Gabungkan $\frac{- 2 y^{2}}{2}$ dan $x$ .

$\frac{- 2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

Langkah 11.3.8

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.8.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 y^{2} x$ .

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

Langkah 11.3.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.8.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

Langkah 11.3.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

Langkah 11.3.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- y^{2} x}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

Langkah 11.3.8.2.4

Bagilah $- y^{2} x$ dengan $1$ .

$- y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} - y^{2} x$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$- y^{2} x + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} - y^{2} x$

Langkah 11.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} x = 4 x^{3} - y^{2} x$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Tambahkan $y^{2} x$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} - y^{2} x + y^{2} x$

Langkah 12.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $4 x^{3} - y^{2} x + y^{2} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Tambahkan $- y^{2} x$ dan $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} + 0$

Langkah 12.1.2.2

Tambahkan $4 x^{3}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3}$

Langkah 13

Temukan $4 x^{3}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 4 x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 4 x^{3} d x$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 4 x^{3} d x$

Langkah 13.3

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$g (x) = 4 \int x^{3} d x$

Langkah 13.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Langkah 13.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.1

Tulis kembali $4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ sebagai $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$g (x) = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Langkah 13.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.2.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{4}$ .

$g (x) = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Langkah 13.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$g (x) = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Langkah 13.5.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$g (x) = 1 x^{4} + C$

Langkah 13.5.2.3

Kalikan $x^{4}$ dengan $1$ .

$g (x) = x^{4} + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + x^{4} + C$

Langkah 15

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Gabungkan $y^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} x^{2} + x^{4} + C$

Langkah 15.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} + x^{4} + C$