Kalkulus Contoh

$y \ln (x) \frac{d x}{d y} = {(\frac{y - 1}{x})}^{2}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku pada $y \ln (x) \frac{d x}{d y} = {(\frac{y - 1}{x})}^{2}$ dengan $y \ln (x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Bagilah setiap suku di $y \ln (x) \frac{d x}{d y} = {(\frac{y - 1}{x})}^{2}$ dengan $y \ln (x)$ .

$\frac{y \ln (x) \frac{d x}{d y}}{y \ln (x)} = \frac{{(\frac{y - 1}{x})}^{2}}{y \ln (x)}$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \ln (x) \frac{d x}{d y}}{y \ln (x)} = \frac{{(\frac{y - 1}{x})}^{2}}{y \ln (x)}$

Langkah 1.1.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\ln (x) \frac{d x}{d y}}{\ln (x)} = \frac{{(\frac{y - 1}{x})}^{2}}{y \ln (x)}$

Langkah 1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\ln (x) \frac{d x}{d y}}{\ln (x)} = \frac{{(\frac{y - 1}{x})}^{2}}{y \ln (x)}$

Langkah 1.1.2.2.2

Bagilah $\frac{d x}{d y}$ dengan $1$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(\frac{y - 1}{x})}^{2}}{y \ln (x)}$

Langkah 1.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{y - 1}{x}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{\frac{{(y - 1)}^{2}}{x^{2}}}{y \ln (x)}$

Langkah 1.1.3.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{y \ln (x)}$

Langkah 1.1.3.3

Gabungkan.

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2} (y \ln (x))}$

Langkah 1.1.3.4

Kalikan ${(y - 1)}^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{x^{2} y \ln (x)}$

Langkah 1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} \cdot \frac{1}{x^{2} \ln (x)}$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $x^{2} \ln (x)$ .

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = x^{2} \ln (x) (\frac{{(y - 1)}^{2}}{y} \cdot \frac{1}{x^{2} \ln (x)})$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Gabungkan.

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = x^{2} \ln (x) \frac{{(y - 1)}^{2} \cdot 1}{y (x^{2} \ln (x))}$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} \ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Faktorkan $x^{2} \ln (x)$ dari $y (x^{2} \ln (x))$ .

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = x^{2} \ln (x) \frac{{(y - 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2} \ln (x) (y)}$

Langkah 1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = x^{2} \ln (x) \frac{{(y - 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2} \ln (x) y}$

Langkah 1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2} \cdot 1}{y}$

Langkah 1.4.3

Kalikan ${(y - 1)}^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{y}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$x^{2} \ln (x) d x = \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int x^{2} \ln (x) d x = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln (x)$ dan $d v = x^{2}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Langkah 2.2.2.2

Gabungkan $\ln (x)$ dan $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Langkah 2.2.3

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{3} \frac{1}{x} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Gabungkan $x^{3}$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{x} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Langkah 2.2.4.2

Hapus faktor persekutuan dari $x^{3}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Langkah 2.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Langkah 2.2.4.2.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Langkah 2.2.4.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Langkah 2.2.4.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{2}}{1} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Langkah 2.2.4.2.2.5

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int x^{2} d x = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Langkah 2.2.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{1}) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.1

Tulis kembali $\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{1})$ sebagai $\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{1}$ .

$\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Langkah 2.2.6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.2.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{3} x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Langkah 2.2.6.2.2

Gabungkan $\frac{\ln (x)}{3}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Langkah 2.2.6.2.3

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Langkah 2.2.6.2.4

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Langkah 2.2.6.3

Gabungkan $x^{3}$ dan $\frac{1}{9}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Langkah 2.2.6.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Langkah 2.2.7

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tulis kembali ${(y - 1)}^{2}$ sebagai $(y - 1) (y - 1)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{(y - 1) (y - 1)}{y} d y$

Langkah 2.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y (y - 1) - 1 (y - 1)}{y} d y$

Langkah 2.3.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 (y - 1)}{y} d y$

Langkah 2.3.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

Langkah 2.3.5

Susun kembali $y$ dan $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y \cdot y - 1 \cdot y - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

Langkah 2.3.6

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{1} y - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

Langkah 2.3.7

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{1} y^{1} - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

Langkah 2.3.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{1 + 1} - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

Langkah 2.3.9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.9.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{2} - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

Langkah 2.3.9.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{2} - 1 y - 1 y + 1}{y} d y$

Langkah 2.3.10

Kurangi $1 y$ dengan $- 1 y$ .

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{2} - 2 y + 1}{y} d y$

Langkah 2.3.11

Bagilah $y^{2} - 2 y + 1$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.11.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$y$

$0$

$y^{2}$

$2 y$

$1$

Langkah 2.3.11.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $y^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $y$ .

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$

Langkah 2.3.11.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

Langkah 2.3.11.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $y^{2} + 0$

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

Langkah 2.3.11.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$

Langkah 2.3.11.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	+	$1$

Langkah 2.3.11.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 2 y$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $y$ .

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	+	$1$

Langkah 2.3.11.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	+	$1$
					-	$2 y$	+	$0$

Langkah 2.3.11.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 2 y + 0$

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	+	$1$
					+	$2 y$	-	$0$

Langkah 2.3.11.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	+	$1$
					+	$2 y$	-	$0$
							+	$1$

Langkah 2.3.11.11

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int y - 2 + \frac{1}{y} d y$

Langkah 2.3.12

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int y d y + \int - 2 d y + \int \frac{1}{y} d y$

Langkah 2.3.13

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} + \int - 2 d y + \int \frac{1}{y} d y$

Langkah 2.3.14

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} - 2 y + C_{3} + \int \frac{1}{y} d y$

Langkah 2.3.15

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} - 2 y + C_{3} + \ln (| y |) + C_{4}$

Langkah 2.3.16

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} y^{2} - 2 y + \ln (| y |) + C_{5}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} = \frac{1}{2} y^{2} - 2 y + \ln (| y |) + C$