Kalkulus Contoh

$y d x = (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $(e^{y} + 2 x y - 2 x) d y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = - (e^{y} + 2 x y - 2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (e^{y} + 2 x y - 2 x)]$

Langkah 3.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- (e^{y} + 2 x y - 2 x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [e^{y} + 2 x y - 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [e^{y} + 2 x y - 2 x]$

Langkah 3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{y} + 2 x y - 2 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Langkah 3.4

Karena $e^{y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $e^{y}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Langkah 3.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Langkah 3.6

Karena $2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $x$ adalah $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Langkah 3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Langkah 3.8

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Langkah 3.9

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y - 2 \cdot 1)$

Langkah 3.11

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y - 2)$

Langkah 3.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y) - - 2$

Langkah 3.12.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y - - 2$

Langkah 3.12.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y + 2$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- 2 y + 2$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = - 2 y + 2$

Langkah 4.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$1 = - 2 y + 2$ bukan identitas.

Langkah 5

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $- 2 y + 2$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 y + 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 5.2

Substitusikan $1$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 y + 2 - 1}{M}$

Langkah 5.3

Substitusikan $y$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Substitusikan $y$ untuk $M$ .

$\frac{- 2 y + 2 - 1}{y}$

Langkah 5.3.2

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{- 2 y + 1}{y}$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 y$ .

$\frac{- (2 y) + 1}{y}$

Langkah 5.3.4

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 y) - 1 (- 1)}{y}$

Langkah 5.3.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 y) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 y - 1)}{y}$

Langkah 5.3.6

Tulis kembali $- (2 y - 1)$ sebagai $- 1 (2 y - 1)$ .

$\frac{- 1 (2 y - 1)}{y}$

Langkah 5.3.7

Substitusikan $y$ untuk $M$ .

$- \frac{2 y - 1}{y}$

Langkah 5.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2 y - 1}{y} d y}$

Langkah 6

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{2 y - 1}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2 y - 1}{y} d y}$

Langkah 6.2

Bagilah $2 y - 1$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$y$

$0$

$2 y$

$1$

Langkah 6.2.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $2 y$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $y$ .

					$2$
	$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$

Langkah 6.2.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$2$
$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$
			+	$2 y$	+	$0$

Langkah 6.2.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $2 y + 0$

				$2$
$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$
			-	$2 y$	-	$0$

Langkah 6.2.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$2$
$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$
			-	$2 y$	-	$0$
					-	$1$

Langkah 6.2.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$μ (x, y) = e^{- \int 2 - \frac{1}{y} d y}$

Langkah 6.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$μ (x, y) = e^{- (\int 2 d y + \int - \frac{1}{y} d y)}$

Langkah 6.4

Terapkan aturan konstanta.

$μ (x, y) = e^{- (2 y + C + \int - \frac{1}{y} d y)}$

Langkah 6.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 y + C - \int \frac{1}{y} d y)}$

Langkah 6.6

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (2 y + C - (\ln (| y |) + C))}$

Langkah 6.7

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- 2 y + \ln (| y |)} + C$

Langkah 7

Kalikan kedua sisi $y d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y = 0$ dengan faktor integral $e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $y$ dengan $e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y = 0$

Langkah 7.2

Kalikan $- (e^{y} + 2 x y - 2 x)$ dengan $e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

Langkah 7.3

Terapkan sifat distributif.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} - (2 x y) - (- 2 x)) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

Langkah 7.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} - 2 (x y) - (- 2 x)) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

Langkah 7.4.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} - 2 (x y) + 2 x) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

Langkah 7.5

Terapkan sifat distributif.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} e^{- 2 y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

Langkah 7.6

Kalikan $e^{y}$ dengan $e^{- 2 y + \ln (y)}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Pindahkan $e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- (e^{- 2 y + \ln (y)} e^{y}) - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

Langkah 7.6.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{- 2 y + \ln (y) + y} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

Langkah 7.6.3

Tambahkan $- 2 y$ dan $y$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

Langkah 8

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y e^{- 2 y + \ln (y)} d x$

Langkah 9

Integralkan $M (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + C$

Langkah 10

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)$

Langkah 11

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Langkah 12

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Langkah 12.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Langkah 12.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y e^{- 2 y + \ln (y)} x$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Langkah 12.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = y$ dan $g (y) = e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$x (y \frac{d}{d y} [e^{- 2 y + \ln (y)}] + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Langkah 12.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = e^{y}$ dan $g (y) = - 2 y + \ln (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- 2 y + \ln (y)$ .

$x (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- 2 y + \ln (y)]) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Langkah 12.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$x (y (e^{u} \frac{d}{d y} [- 2 y + \ln (y)]) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Langkah 12.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 2 y + \ln (y)$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [- 2 y + \ln (y)]) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Langkah 12.3.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 2 y + \ln (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (\frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Langkah 12.3.5

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2 y$ terhadap $y$ adalah $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Langkah 12.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Langkah 12.3.7

Turunan dari $\ln (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{y}$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Langkah 12.3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Langkah 12.3.9

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Langkah 12.3.10

Kalikan $e^{- 2 y + \ln (y)}$ dengan $1$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Langkah 12.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)}) + \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Langkah 12.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Terapkan sifat distributif.

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y}))) + x e^{- 2 y + \ln (y)} + \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Langkah 12.5.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x y (- 2 + \frac{1}{y}) + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Langkah 12.5.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d g}{d y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x y \cdot - 2 + e^{- 2 y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Langkah 12.5.3.2

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $e^{- 2 y + \ln (y)} x y$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + e^{- 2 y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Langkah 12.5.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.3.3.1

Faktorkan $y$ dari $e^{- 2 y + \ln (y)} x y$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + y (e^{- 2 y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Langkah 12.5.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + y (e^{- 2 y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Langkah 12.5.3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + e^{- 2 y + \ln (y)} x + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Langkah 12.5.3.4

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x y + e^{- 2 y + \ln (y)} x + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Langkah 12.5.4

Tambahkan $e^{- 2 y + \ln (y)} x$ dan $e^{- 2 y + \ln (y)} x$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x y + 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Langkah 12.5.5

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x y + 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Langkah 13

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$- 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} + 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Langkah 13.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $- 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} + 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.2.1

Tambahkan $- 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)}$ dan $2 x y e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} + 0 - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Langkah 13.1.2.2

Tambahkan $2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)}$ dan $0$ .

$2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Langkah 13.1.2.3

Kurangi $2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$ dengan $2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$0 + e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Langkah 13.1.2.4

Tambahkan $0$ dan $e^{- y + \ln (y)}$ .

$e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Langkah 13.1.3

Karena $\frac{d g}{d y}$ ada di sisi kanan persamaan, tukar sisinya sehingga berada di sisi kiri persamaan.

$- \frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$

Langkah 13.1.4

Bagi setiap suku pada $- \frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.4.1

Bagilah setiap suku di $- \frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \frac{d g}{d y}}{- 1} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Langkah 13.1.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.4.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\frac{d g}{d y}}{1} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Langkah 13.1.4.2.2

Bagilah $\frac{d g}{d y}$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Langkah 13.1.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.4.3.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 1 \cdot e^{- y + \ln (y)}$

Langkah 13.1.4.3.2

Tulis kembali $- 1 \cdot e^{- y + \ln (y)}$ sebagai $- e^{- y + \ln (y)}$ .

$\frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$

Langkah 14

Temukan $- e^{- y + \ln (y)}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - e^{- y + \ln (y)} d y$

Langkah 14.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - e^{- y + \ln (y)} d y$

Langkah 14.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (y) = - \int e^{- y + \ln (y)} d y$

Langkah 14.4

Tulis kembali $\int e^{- y + \ln (y)} d y$ sebagai $\int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$ .

$g (y) = - \int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$

Langkah 14.5

Tulis kembali $e^{\ln (y)}$ sebagai $y$ .

$g (y) = - \int e^{- y} y d y$

Langkah 14.6

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = y$ dan $d v = e^{- y}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y)$

Langkah 14.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y)$

Langkah 14.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.8.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y)$

Langkah 14.8.2

Kalikan $\int e^{- y} d y$ dengan $1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y)$

Langkah 14.9

Biarkan $u = - y$ . Kemudian $d u = - d y$ sehingga $- d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.9.1

Biarkan $u = - y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.9.1.1

Diferensialkan $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 14.9.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 14.9.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 14.9.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 14.9.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u)$

Langkah 14.10

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u)$

Langkah 14.11

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$

Langkah 14.12

Tulis kembali $- (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$ sebagai $- (- y e^{- y} - e^{u}) + C$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{u}) + C$

Langkah 14.13

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- y$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{- y}) + C$

Langkah 14.14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.14.1

Terapkan sifat distributif.

$g (y) = - (- y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Langkah 14.14.2

Kalikan $- (- y e^{- y})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.14.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$g (y) = 1 (y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Langkah 14.14.2.2

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$g (y) = y e^{- y} - - e^{- y} + C$

Langkah 14.14.3

Kalikan $- - e^{- y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.14.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$g (y) = y e^{- y} + 1 e^{- y} + C$

Langkah 14.14.3.2

Kalikan $e^{- y}$ dengan $1$ .

$g (y) = y e^{- y} + e^{- y} + C$

Langkah 15

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$

Langkah 16

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$ .

$f (x, y) = y x e^{- 2 y + \ln (y)} + y e^{- y} + e^{- y} + C$