Kalkulus Contoh

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y = x^{2} - 1$

Langkah 1

Periksa apakah sisi kiri persamaan merupakan turunan dari suku $(x + 1) y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x + 1$ dan $g (x) = y$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 1.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$(x + 1) y' + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 1.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x + 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(x + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(x + 1) y' + y (1 + 0)$

Langkah 1.6

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$(x + 1) y' + y \cdot 1$

Langkah 1.7

Substitusikan $\frac{d y}{d x}$ untuk $y'$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Langkah 1.8

Susun kembali $y$ dan $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Langkah 1.9

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

Langkah 2

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [(x + 1) y] = x^{2} - 1$

Langkah 3

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [(x + 1) y] d x = \int x^{2} - 1 d x$

Langkah 4

Integralkan sisi kiri.

$(x + 1) y = \int x^{2} - 1 d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$(x + 1) y = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Langkah 5.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 d x$

Langkah 5.3

Terapkan aturan konstanta.

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} + C - x + C$

Langkah 5.4

Sederhanakan.

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

Langkah 6

Bagi setiap suku pada $(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ dengan $x + 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagilah setiap suku di $(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ dengan $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Langkah 6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Langkah 6.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Langkah 6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Langkah 6.3.1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Langkah 6.3.1.3

Kalikan $\frac{x^{3}}{3}$ dengan $\frac{1}{x + 1}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Langkah 6.3.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Langkah 6.3.2

Untuk menuliskan $- \frac{x}{x + 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{C}{x + 1}$

Langkah 6.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $3 (x + 1)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Kalikan $\frac{x}{x + 1}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x \cdot 3}{(x + 1) \cdot 3} + \frac{C}{x + 1}$

Langkah 6.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(x + 1) \cdot 3$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x \cdot 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

Langkah 6.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{x^{3} - x \cdot 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

Langkah 6.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.5.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3} - x \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.5.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2} - x \cdot 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

Langkah 6.3.5.1.2

Faktorkan $x$ dari $- x \cdot 3$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2} + x (- 1 \cdot 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

Langkah 6.3.5.1.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x^{2} + x (- 1 \cdot 3)$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 1 \cdot 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

Langkah 6.3.5.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

Langkah 6.3.6

Untuk menuliskan $\frac{C}{x + 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1} \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 6.3.7

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $3 (x + 1)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.7.1

Kalikan $\frac{C}{x + 1}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{(x + 1) \cdot 3}$

Langkah 6.3.7.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(x + 1) \cdot 3$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Langkah 6.3.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{x (x^{2} - 3) + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Langkah 6.3.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.9.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Langkah 6.3.9.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.9.2.1

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.9.2.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \frac{x^{1} x^{2} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Langkah 6.3.9.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \frac{x^{1 + 2} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Langkah 6.3.9.2.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$y = \frac{x^{3} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Langkah 6.3.9.3

Pindahkan $- 3$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = \frac{x^{3} - 3 \cdot x + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Langkah 6.3.9.4

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $C$ .

$y = \frac{x^{3} - 3 x + 3 C}{3 (x + 1)}$