Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = e^{3 x}$ , $y (0) = 4$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = e^{3 x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int e^{3 x} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int e^{3 x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u = 3 x$ . Kemudian $d u = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u = 3 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 2.3.1.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 2.3.1.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Langkah 2.3.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Langkah 2.3.4

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} + C_{2}$

Langkah 2.3.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{3 x} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $4$ untuk $y$ padda $y = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$ .

$4 = \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0} + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{1}{3} \cdot e^{3 \cdot 0} + K = 4$ .

$\frac{1}{3} \cdot e^{3 \cdot 0} + K = 4$

Langkah 4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot e^{0} + K = 4$

Langkah 4.2.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + K = 4$

Langkah 4.2.3

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} + K = 4$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kurangkan $\frac{1}{3}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = 4 - \frac{1}{3}$

Langkah 4.3.2

Untuk menuliskan $4$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$K = 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Langkah 4.3.3

Gabungkan $4$ dan $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Langkah 4.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$K = \frac{4 \cdot 3 - 1}{3}$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$K = \frac{12 - 1}{3}$

Langkah 4.3.5.2

Kurangi $1$ dengan $12$ .

$K = \frac{11}{3}$

Langkah 5

Substitusikan $\frac{11}{3}$ untuk $K$ dalam $y = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $\frac{11}{3}$ untuk $K$ .

$y = \frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{11}{3}$

Langkah 5.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $e^{3 x}$ .

$y = \frac{e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3}$