Kalkulus Contoh

$(\cos (x) \sin (x) - x y^{2}) d x + y (1 - x^{2}) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (x) \sin (x) - x y^{2}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\cos (x) \sin (x) - x y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}]$

Langkah 1.2.2

Karena $\cos (x) \sin (x)$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\cos (x) \sin (x)$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- x y^{2}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- x y^{2}$ terhadap $y$ adalah $- x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x (2 y)$

Langkah 1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y$

Langkah 1.4

Kurangi $2 x y$ dengan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x y$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = y (1 - x^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (1 - x^{2})]$

Langkah 2.2

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y (1 - x^{2})$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Langkah 2.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Langkah 2.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (- (2 x))$

Langkah 2.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (- 2 x)$

Langkah 2.8.2

Susun kembali faktor-faktor dari $y (- 2 x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $- 2 x y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- 2 x y$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x y = - 2 x y$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$- 2 x y = - 2 x y$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y (1 - x^{2}) d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = y (1 - x^{2})$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $1 - x^{2}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $1 - x^{2}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \int y d y$

Langkah 5.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = (1 - x^{2}) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 5.3

Tulis kembali $(1 - x^{2}) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ sebagai $(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Gabungkan $y^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Langkah 8.3.2

Karena $\frac{y^{2}}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $(1 - x^{2}) \frac{y^{2}}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Langkah 8.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Langkah 8.3.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{y^{2}}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Langkah 8.3.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Langkah 8.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (0 - (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Langkah 8.3.7

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (0 - 2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Langkah 8.3.8

Kurangi $2 x$ dengan $0$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Langkah 8.3.9

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Langkah 8.3.10

Gabungkan $\frac{- 2 y^{2}}{2}$ dan $x$ .

$\frac{- 2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Langkah 8.3.11

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.11.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 y^{2} x$ .

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Langkah 8.3.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.11.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Langkah 8.3.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Langkah 8.3.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- y^{2} x}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Langkah 8.3.11.2.4

Bagilah $- y^{2} x$ dengan $1$ .

$- y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$- y^{2} x + \frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Langkah 8.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} x = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Tambahkan $y^{2} x$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) - x y^{2} + y^{2} x$

Langkah 9.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $\cos (x) \sin (x) - x y^{2} + y^{2} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $- x y^{2}$ dan $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) - y^{2} x + y^{2} x$

Langkah 9.1.2.2

Tambahkan $- y^{2} x$ dan $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) + 0$

Langkah 9.1.2.3

Tambahkan $\cos (x) \sin (x)$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x)$

Langkah 10

Temukan $\cos (x) \sin (x)$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \cos (x) \sin (x) d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \cos (x) \sin (x) d x$

Langkah 10.3

Biarkan $u = \cos (x)$ . Kemudian $d u = - \sin (x) d x$ sehingga $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Biarkan $u = \cos (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1.1

Diferensialkan $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 10.3.1.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Langkah 10.3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$g (x) = \int - u d u$

Langkah 10.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (x) = - \int u d u$

Langkah 10.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Langkah 10.6

Tulis kembali $- (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ sebagai $- \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} u^{2} + C$

Langkah 10.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (x)$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Langkah 12

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = (1 (\frac{1}{2}) - x^{2} \frac{1}{2}) y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Langkah 12.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$f (x, y) = (\frac{1}{2} - x^{2} \frac{1}{2}) y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Langkah 12.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = (\frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2}) y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Langkah 12.4

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - \frac{x^{2}}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Langkah 12.5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Langkah 12.6

Gabungkan $y^{2}$ dan $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Langkah 12.7

Gabungkan $\cos^{2} (x)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} - \frac{\cos^{2} (x)}{2} + C$