Kalkulus Contoh

$x^{2} \frac{d y}{d x} = 3 y$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku pada $x^{2} \frac{d y}{d x} = 3 y$ dengan $x^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Bagilah setiap suku di $x^{2} \frac{d y}{d x} = 3 y$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{3 y}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{3 y}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.1.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y}{x^{2}}$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{3 y}{x^{2}}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Gabungkan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (3 y)}{y x^{2}}$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (3 y)}{y x^{2}}$

Langkah 1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot (3)}{x^{2}}$

Langkah 1.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{x^{2}}$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{x^{2}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 2.3.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 2.3.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 2.3.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 (- x^{- 1} + C_{2})$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Tulis kembali $3 (- x^{- 1} + C_{2})$ sebagai $3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 3 \frac{1}{x} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2.2

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 3}{x} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{x} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{3}{x} + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{3}{x} + C}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\ln (| y |) = - \frac{3}{x} + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{3}{x} + C} = | y |$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y | = e^{- \frac{3}{x} + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{3}{x} + C}$

Langkah 3.3.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{3}{x} + C}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{- \frac{3}{x} + C}$ sebagai $e^{- \frac{3}{x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{3}{x}} e^{C}$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{- \frac{3}{x}}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{3}{x}}$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{- \frac{3}{x}}$