Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} - y = - y^{2}$

Langkah 1

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial, biarkan $v = y^{1 - n}$ di mana $n$ adalah eksponen dari $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Langkah 2

Selesaikan persamaan untuk $y$ .

$y = v^{- 1}$

Langkah 3

Ambil turunan dari $y$ terhadap $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Langkah 4

Ambil turunan dari $v^{- 1}$ terhadap $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ambil turunan dari $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Langkah 4.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Langkah 4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 1$ dan $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 4.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 4.4.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 4.4.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.3.1

Kalikan $v$ dengan $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 4.4.3.2

Kurangi $\frac{d}{d x} [v]$ dengan $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 4.4.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Langkah 4.5

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [v]$ sebagai $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Langkah 5

Substitusikan $- \frac{v'}{v^{2}}$ dengan $\frac{d y}{d x}$ dan $v^{- 1}$ dengan $y$ dalam persamaan asli $\frac{d y}{d x} - y = - y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = - {(v^{- 1})}^{2}$

Langkah 6

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Selesaikan $\frac{d v}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - {(v^{- 1})}^{2}$

Langkah 6.1.1.2

Sederhanakan $- {(v^{- 1})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(v^{- 1})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - v^{- 1 \cdot 2}$

Langkah 6.1.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - v^{- 2}$

Langkah 6.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - \frac{1}{v^{2}}$

Langkah 6.1.1.3

Tambahkan $\frac{1}{v}$ ke kedua sisi persamaan.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} + \frac{1}{v}$

Langkah 6.1.1.4

Bagi setiap suku pada $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} + \frac{1}{v}$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.4.1

Bagilah setiap suku di $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} + \frac{1}{v}$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{- 1} = \frac{- \frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

Langkah 6.1.1.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.4.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{1} = \frac{- \frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

Langkah 6.1.1.4.2.2

Bagilah $\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{- \frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

Langkah 6.1.1.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.4.3.1.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{\frac{1}{v^{2}}}{1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

Langkah 6.1.1.4.3.1.2

Bagilah $\frac{1}{v^{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

Langkah 6.1.1.4.3.1.3

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\frac{1}{v}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} - 1 \cdot \frac{1}{v}$

Langkah 6.1.1.4.3.1.4

Tulis kembali $- 1 \cdot \frac{1}{v}$ sebagai $- \frac{1}{v}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}$

Langkah 6.1.1.5

Kalikan kedua ruas dengan $v^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$

Langkah 6.1.1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.6.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.6.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $v^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.6.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$

Langkah 6.1.1.6.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} = (\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$

Langkah 6.1.1.6.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.6.2.1

Sederhanakan $(\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.6.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2} - \frac{1}{v} v^{2}$

Langkah 6.1.1.6.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $v^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.6.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2} - \frac{1}{v} v^{2}$

Langkah 6.1.1.6.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} = 1 - \frac{1}{v} v^{2}$

Langkah 6.1.1.6.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.6.2.1.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{v}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{- 1}{v} v^{2}$

Langkah 6.1.1.6.2.1.3.2

Faktorkan $v$ dari $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{- 1}{v} (v \cdot v)$

Langkah 6.1.1.6.2.1.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{- 1}{v} (v \cdot v)$

Langkah 6.1.1.6.2.1.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} = 1 - 1 v$

Langkah 6.1.1.6.2.1.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.6.2.1.4.1

Tulis kembali $- 1 v$ sebagai $- v$ .

$\frac{d v}{d x} = 1 - v$

Langkah 6.1.1.6.2.1.4.2

Susun kembali $1$ dan $- v$ .

$\frac{d v}{d x} = - v + 1$

Langkah 6.1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{- v + 1}$ .

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{- v + 1} (- v + 1)$

Langkah 6.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Kalikan $\frac{1}{- v + 1}$ dengan $- v + 1$ .

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = \frac{- v + 1}{- v + 1}$

Langkah 6.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $- v + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = \frac{- v + 1}{- v + 1}$

Langkah 6.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = 1$

Langkah 6.1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{- v + 1} d v = 1 d x$

Langkah 6.2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{- v + 1} d v = \int d x$

Langkah 6.2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Biarkan $u = - v + 1$ . Kemudian $d u = - d v$ sehingga $- d u = d v$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Biarkan $u = - v + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d v}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1.1

Tulis kembali.

$\frac{- 1}{1}$

Langkah 6.2.2.1.1.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 6.2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int d x$

Langkah 6.2.2.2

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int d x$

Langkah 6.2.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Langkah 6.2.2.4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Langkah 6.2.2.5

Sederhanakan.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Langkah 6.2.2.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- v + 1$ .

$- \ln (| - v + 1 |) + C_{1} = \int d x$

Langkah 6.2.3

Terapkan aturan konstanta.

$- \ln (| - v + 1 |) + C_{1} = x + C_{2}$

Langkah 6.2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \ln (| - v + 1 |) = x + C$

Langkah 6.3

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Bagi setiap suku pada $- \ln (| - v + 1 |) = x + C$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Bagilah setiap suku di $- \ln (| - v + 1 |) = x + C$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - v + 1 |)}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 6.3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\ln (| - v + 1 |)}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 6.3.1.2.2

Bagilah $\ln (| - v + 1 |)$ dengan $1$ .

$\ln (| - v + 1 |) = \frac{x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 6.3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{x}{- 1}$ .

$\ln (| - v + 1 |) = - 1 \cdot x + \frac{C}{- 1}$

Langkah 6.3.1.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot x$ sebagai $- x$ .

$\ln (| - v + 1 |) = - x + \frac{C}{- 1}$

Langkah 6.3.1.3.1.3

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - v + 1 |) = - x - 1 \cdot C$

Langkah 6.3.1.3.1.4

Tulis kembali $- 1 \cdot C$ sebagai $- C$ .

$\ln (| - v + 1 |) = - x - C$

Langkah 6.3.2

Untuk menyelesaikan $v$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| - v + 1 |)} = e^{- x - C}$

Langkah 6.3.3

Tulis kembali $\ln (| - v + 1 |) = - x - C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- x - C} = | - v + 1 |$

Langkah 6.3.4

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| - v + 1 | = e^{- x - C}$ .

$| - v + 1 | = e^{- x - C}$

Langkah 6.3.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$- v + 1 = \pm e^{- x - C}$

Langkah 6.3.4.3

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- v = \pm e^{- x - C} - 1$

Langkah 6.3.4.4

Bagi setiap suku pada $- v = \pm e^{- x - C} - 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.4.1

Bagilah setiap suku di $- v = \pm e^{- x - C} - 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- v}{- 1} = \frac{\pm e^{- x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 6.3.4.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.4.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{v}{1} = \frac{\pm e^{- x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 6.3.4.4.2.2

Bagilah $v$ dengan $1$ .

$v = \frac{\pm e^{- x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 6.3.4.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.4.4.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\pm e^{- x - C}}{- 1}$ .

$v = - 1 \cdot (\pm e^{- x - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 6.3.4.4.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot (\pm e^{- x - C})$ sebagai $- (\pm e^{- x - C})$ .

$v = - (\pm e^{- x - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 6.3.4.4.3.1.3

Bagilah $- 1$ dengan $- 1$ .

$v = - (\pm e^{- x - C}) + 1$

Langkah 6.4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$v = - (\pm e^{- x + C}) + 1$

Langkah 6.4.2

Tulis kembali $e^{- x + C}$ sebagai $e^{- x} e^{C}$ .

$v = - (\pm e^{- x} e^{C}) + 1$

Langkah 6.4.3

Susun kembali $e^{- x}$ dan $e^{C}$ .

$v = - (\pm e^{C} e^{- x}) + 1$

Langkah 6.4.4

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$v = - (C e^{- x}) + 1$

Langkah 7

Substitusikan $y^{- 1}$ untuk $v$ .

$y^{- 1} = - (C e^{- x}) + 1$