Kalkulus Contoh

$x \frac{d y}{d x} + y = 4 x$ , $y (1) = 8$

Langkah 1

Periksa apakah sisi kiri persamaan merupakan turunan dari suku $x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Langkah 1.4

Substitusikan $\frac{d y}{d x}$ untuk $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Langkah 1.5

Susun kembali $y$ dan $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Langkah 1.6

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Langkah 2

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [x y] = 4 x$

Langkah 3

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 4 x d x$

Langkah 4

Integralkan sisi kiri.

$x y = \int 4 x d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$x y = 4 \int x d x$

Langkah 5.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 5.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis kembali $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$x y = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$x y = \frac{4}{2} x^{2} + C$

Langkah 5.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C$

Langkah 5.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C$

Langkah 5.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Langkah 5.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x y = \frac{2}{1} x^{2} + C$

Langkah 5.3.2.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$x y = 2 x^{2} + C$

Langkah 6

Bagi setiap suku pada $x y = 2 x^{2} + C$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagilah setiap suku di $x y = 2 x^{2} + C$ dengan $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 6.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Faktorkan $x$ dari $2 x^{2}$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 6.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Langkah 6.3.1.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Langkah 6.3.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Langkah 6.3.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{2 x}{1} + \frac{C}{x}$

Langkah 6.3.1.2.5

Bagilah $2 x$ dengan $1$ .

$y = 2 x + \frac{C}{x}$

Langkah 7

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $x$ dan $8$ untuk $y$ padda $y = 2 x + \frac{C}{x}$ .

$8 = 2 \cdot 1 + \frac{C}{1}$

Langkah 8

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $2 \cdot 1 + \frac{C}{1} = 8$ .

$2 \cdot 1 + \frac{C}{1} = 8$

Langkah 8.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{C}{1} = 8$

Langkah 8.2.2

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$2 + C = 8$

Langkah 8.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $C$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$C = 8 - 2$

Langkah 8.3.2

Kurangi $2$ dengan $8$ .

$C = 6$

Langkah 9

Substitusikan $6$ untuk $C$ dalam $y = 2 x + \frac{C}{x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Substitusikan $6$ untuk $C$ .

$y = 2 x + \frac{6}{x}$