Kalkulus Contoh

$\frac{d x}{d y} = x + y$

Langkah 1

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d x}{d y} - x = y$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (y) d y}$ , di mana $P (y) = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int - 1 d y}$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{- y + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- y}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{- y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{- y}$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} + e^{- y} (- x) = e^{- y} y$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = e^{- y} y$

Langkah 3.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = e^{- y} y$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - x e^{- y} = y e^{- y}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x] = y e^{- y}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d y} [e^{- y} x] d y = \int y e^{- y} d y$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$e^{- y} x = \int y e^{- y} d y$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = y$ dan $d v = e^{- y}$ .

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y$

Langkah 7.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y$

Langkah 7.3.2

Kalikan $\int e^{- y} d y$ dengan $1$ .

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y$

Langkah 7.4

Biarkan $u = - y$ . Kemudian $d u = - d y$ sehingga $- d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Biarkan $u = - y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1.1

Diferensialkan $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 7.4.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 7.4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 7.4.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 7.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u$

Langkah 7.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u$

Langkah 7.6

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) - (e^{u} + C)$

Langkah 7.7

Tulis kembali $y (- e^{- y}) - (e^{u} + C)$ sebagai $- y e^{- y} - e^{u} + C$ .

$e^{- y} x = - y e^{- y} - e^{u} + C$

Langkah 7.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- y$ .

$e^{- y} x = - y e^{- y} - e^{- y} + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $e^{- y} x = - y e^{- y} - e^{- y} + C$ dengan $e^{- y}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $e^{- y} x = - y e^{- y} - e^{- y} + C$ dengan $e^{- y}$ .

$\frac{e^{- y} x}{e^{- y}} = \frac{- y e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{- y} x}{e^{- y}} = \frac{- y e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- y e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{- y e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Langkah 8.3.1.1.2

Bagilah $- y$ dengan $1$ .

$x = - y + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Langkah 8.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = - y + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Langkah 8.3.1.2.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$x = - y - 1 + \frac{C}{e^{- y}}$