Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{5 x}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y - 3}$ .

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 3} \cdot \frac{y - 3}{5 x}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 3} \cdot \frac{y - 3}{5 x}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 x}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y - 3} d y = \frac{1}{5 x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y - 3} d y = \int \frac{1}{5 x} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = y - 3$ . Kemudian $d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = y - 3$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $y - 3$ .

$\frac{d}{d y} [y - 3]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y - 3$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Langkah 2.2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Langkah 2.2.1.1.4

Karena $- 3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 3$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.2.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{5 x} d x$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{5 x} d x$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y - 3$ .

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{5 x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $\frac{1}{5}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{5}$ keluar dari integral.

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \frac{1}{5} \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \frac{1}{5} (\ln (| x |) + C_{2})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \frac{1}{5} \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y - 3 |) = \frac{1}{5} \ln (| x |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y - 3 |) = \frac{\ln (| x |)}{5} + C$

Langkah 3.2

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y - 3 |) - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

Langkah 3.3

Untuk menuliskan $\ln (| y - 3 |)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$\ln (| y - 3 |) \cdot \frac{5}{5} - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

Langkah 3.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Gabungkan $\ln (| y - 3 |)$ dan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\ln (| y - 3 |) \cdot 5}{5} - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

Langkah 3.4.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\ln (| y - 3 |) \cdot 5 - \ln (| x |)}{5} = C$

Langkah 3.5

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $\ln (| y - 3 |)$ .

$\frac{5 \ln (| y - 3 |) - \ln (| x |)}{5} = C$

Langkah 3.6

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Sederhanakan $\frac{5 \ln (| y - 3 |) - \ln (| x |)}{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.1.1

Sederhanakan $5 \ln (| y - 3 |)$ dengan memindahkan $5$ ke dalam logaritma.

$\frac{\ln ({| y - 3 |}^{5}) - \ln (| x |)}{5} = C$

Langkah 3.6.1.1.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y - 3 |}^{5}}{| x |})}{5} = C$

Langkah 3.6.1.2

Tulis kembali $\frac{\ln (\frac{{| y - 3 |}^{5}}{| x |})}{5}$ sebagai $\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 3 |}^{5}}{| x |})$ .

$\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 3 |}^{5}}{| x |}) = C$

Langkah 3.6.1.3

Sederhanakan $\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 3 |}^{5}}{| x |})$ dengan memindahkan $\frac{1}{5}$ ke dalam logaritma.

$\ln ({(\frac{{| y - 3 |}^{5}}{| x |})}^{\frac{1}{5}}) = C$

Langkah 3.6.1.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{{| y - 3 |}^{5}}{| x |}$ .

$\ln (\frac{{({| y - 3 |}^{5})}^{\frac{1}{5}}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Langkah 3.6.1.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.5.1

Kalikan eksponen dalam ${({| y - 3 |}^{5})}^{\frac{1}{5}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.5.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{| y - 3 |}^{5 (\frac{1}{5})}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Langkah 3.6.1.5.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.5.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (\frac{{| y - 3 |}^{5 (\frac{1}{5})}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Langkah 3.6.1.5.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (\frac{{| y - 3 |}^{1}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Langkah 3.6.1.5.2

Sederhanakan.

$\ln (\frac{| y - 3 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Langkah 3.7

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| y - 3 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}})} = e^{C}$

Langkah 3.8

Tulis kembali $\ln (\frac{| y - 3 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y - 3 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}$

Langkah 3.9

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| y - 3 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} = e^{C}$ .

$\frac{| y - 3 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} = e^{C}$

Langkah 3.9.2

Kalikan kedua ruas dengan ${| x |}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{| y - 3 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} {| x |}^{\frac{1}{5}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

Langkah 3.9.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${| x |}^{\frac{1}{5}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y - 3 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} {| x |}^{\frac{1}{5}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

Langkah 3.9.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| y - 3 | = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

Langkah 3.9.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.4.1

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y - 3 = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

Langkah 3.9.4.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}} + 3$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm C {| x |}^{\frac{1}{5}} + 3$

Langkah 4.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C {| x |}^{\frac{1}{5}} + 3$