Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} - 6 x y - 12 x = 0$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d y}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tambahkan $6 x y$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d y}{d x} - 12 x = 6 x y$

Langkah 1.1.2

Tambahkan $12 x$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d y}{d x} = 6 x y + 12 x$

Langkah 1.2

Faktorkan $6 x$ dari $6 x y + 12 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $6 x$ dari $6 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x (y) + 12 x$

Langkah 1.2.2

Faktorkan $6 x$ dari $12 x$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x (y) + 6 x (2)$

Langkah 1.2.3

Faktorkan $6 x$ dari $6 x (y) + 6 x (2)$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x (y + 2)$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y + 2}$ .

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 2} (6 x (y + 2))$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{y + 2} (x (y + 2))$

Langkah 1.4.2

Gabungkan $6$ dan $\frac{1}{y + 2}$ .

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y + 2} (x (y + 2))$

Langkah 1.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Faktorkan $y + 2$ dari $x (y + 2)$ .

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y + 2} ((y + 2) x)$

Langkah 1.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y + 2} ((y + 2) x)$

Langkah 1.4.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = 6 x$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y + 2} d y = 6 x d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y + 2} d y = \int 6 x d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = y + 2$ . Kemudian $d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = y + 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 2$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Langkah 2.2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Langkah 2.2.1.1.4

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.2.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 6 x d x$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 6 x d x$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y + 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \int 6 x d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = 6 \int x d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis kembali $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ sebagai $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Gabungkan $6$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2.2.4

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = 3 x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y + 2 |) = 3 x^{2} + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y + 2 |)} = e^{3 x^{2} + C}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\ln (| y + 2 |) = 3 x^{2} + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{3 x^{2} + C} = | y + 2 |$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y + 2 | = e^{3 x^{2} + C}$ .

$| y + 2 | = e^{3 x^{2} + C}$

Langkah 3.3.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y + 2 = \pm e^{3 x^{2} + C}$

Langkah 3.3.3

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = \pm e^{3 x^{2} + C} - 2$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{3 x^{2} + C}$ sebagai $e^{3 x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{3 x^{2}} e^{C} - 2$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{3 x^{2}}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{3 x^{2}} - 2$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{3 x^{2}} - 2$