Kalkulus Contoh

$y d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = - 4 (x + y^{6})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 4 (x + y^{6})]$

Langkah 2.2

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 (x + y^{6})$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x + y^{6}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 \frac{d}{d x} [x + y^{6}]$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y^{6}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{6}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{6}])$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 (1 + \frac{d}{d x} [y^{6}])$

Langkah 2.5

Karena $y^{6}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y^{6}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 (1 + 0)$

Langkah 2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 \cdot 1$

Langkah 2.6.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- 4$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = - 4$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$1 = - 4$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $- 4$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 4 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 4.2

Substitusikan $1$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 4 - 1}{M}$

Langkah 4.3

Substitusikan $y$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $y$ untuk $M$ .

$\frac{- 4 - 1}{y}$

Langkah 4.3.2

Kurangi $1$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 5}{y}$

Langkah 4.3.3

Substitusikan $y$ untuk $M$ .

$- \frac{5}{y}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{5}{y} d y}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{5}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{5}{y} d y}$

Langkah 5.2

Karena $5$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- (5 \int \frac{1}{y} d y)}$

Langkah 5.3

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 \int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 5.4

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 (\ln (| y |) + C)}$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- 5 \ln (| y |)} + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Sederhanakan $- 5 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $- 5$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 5})} + C$

Langkah 5.6.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 5} + C$

Langkah 5.6.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{5}} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $y d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{y^{5}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $y$ dengan $\frac{1}{y^{5}}$ .

$y \frac{1}{y^{5}} d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

Langkah 6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Faktorkan $y$ dari $y^{5}$ .

$y \frac{1}{y \cdot y^{4}} d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

Langkah 6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y \frac{1}{y \cdot y^{4}} d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

Langkah 6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{4}} d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

Langkah 6.3

Kalikan $- 4 (x + y^{6})$ dengan $\frac{1}{y^{5}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x - 4 (x + y^{6}) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

Langkah 6.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{y^{4}} d x + (- 4 x - 4 y^{6}) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

Langkah 6.5

Kalikan $- 4 x - 4 y^{6}$ dengan $\frac{1}{y^{5}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{- 4 x - 4 y^{6}}{y^{5}} d y = 0$

Langkah 6.6

Faktorkan $4$ dari $- 4 x - 4 y^{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Faktorkan $4$ dari $- 4 x$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- x) - 4 y^{6}}{y^{5}} d y = 0$

Langkah 6.6.2

Faktorkan $4$ dari $- 4 y^{6}$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- x) + 4 (- y^{6})}{y^{5}} d y = 0$

Langkah 6.6.3

Faktorkan $4$ dari $4 (- x) + 4 (- y^{6})$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- x - y^{6})}{y^{5}} d y = 0$

Langkah 6.7

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- (x) - y^{6})}{y^{5}} d y = 0$

Langkah 6.8

Faktorkan $- 1$ dari $- y^{6}$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- (x) - (y^{6}))}{y^{5}} d y = 0$

Langkah 6.9

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - (y^{6})$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- (x + y^{6}))}{y^{5}} d y = 0$

Langkah 6.10

Tulis kembali $- (x + y^{6})$ sebagai $- 1 (x + y^{6})$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- 1 (x + y^{6}))}{y^{5}} d y = 0$

Langkah 6.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{y^{4}} d x - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}} d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{y^{4}} d x$

Langkah 8

Integralkan $M (x, y) = \frac{1}{y^{4}}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} x + C$

Langkah 8.2

Gabungkan $\frac{1}{y^{4}}$ dan $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y^{4}} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y^{4}} + g (y)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{4}} + g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{x}{y^{4}} + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{4}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{x}{y^{4}}$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Langkah 11.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{y^{4}}$ sebagai ${(y^{4})}^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [{(y^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Langkah 11.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{- 1}$ dan $g (y) = y^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y^{4}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Langkah 11.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Langkah 11.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y^{4}$ .

$x (- {(y^{4})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Langkah 11.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$x (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Langkah 11.3.5

Kalikan eksponen dalam ${(y^{4})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x (- y^{4 \cdot - 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Langkah 11.3.5.2

Kalikan $4$ dengan $- 2$ .

$x (- y^{- 8} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Langkah 11.3.6

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$x (- 4 y^{- 8} y^{3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Langkah 11.3.7

Kalikan $y^{- 8}$ dengan $y^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.7.1

Pindahkan $y^{3}$ .

$x (- 4 (y^{3} y^{- 8})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Langkah 11.3.7.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x (- 4 y^{3 - 8}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Langkah 11.3.7.3

Kurangi $8$ dengan $3$ .

$x (- 4 y^{- 5}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- 4 y^{- 5}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Langkah 11.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- 4 \frac{1}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Langkah 11.5.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.2.1

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{1}{y^{5}}$ .

$x \frac{- 4}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Langkah 11.5.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x (- \frac{4}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Langkah 11.5.2.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{4}{y^{5}}$ .

$- \frac{x \cdot 4}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Langkah 11.5.2.4

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x$ .

$- \frac{4 x}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Langkah 11.5.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} - \frac{4 x}{y^{5}} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.1

Tambahkan $\frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d y} - \frac{4 x}{y^{5}} + \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}} = 0$

Langkah 12.1.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 4 x + 4 (x + y^{6})}{y^{5}} = 0$

Langkah 12.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 4 x + 4 x + 4 y^{6}}{y^{5}} = 0$

Langkah 12.1.1.4

Tambahkan $- 4 x$ dan $4 x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 4 y^{6}}{y^{5}} = 0$

Langkah 12.1.1.5

Tambahkan $0$ dan $4 y^{6}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{4 y^{6}}{y^{5}} = 0$

Langkah 12.1.1.6

Hapus faktor persekutuan dari $y^{6}$ dan $y^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.6.1

Faktorkan $y^{5}$ dari $4 y^{6}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{5} (4 y)}{y^{5}} = 0$

Langkah 12.1.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.6.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{5} (4 y)}{y^{5} \cdot 1} = 0$

Langkah 12.1.1.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{5} (4 y)}{y^{5} \cdot 1} = 0$

Langkah 12.1.1.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d g}{d y} + \frac{4 y}{1} = 0$

Langkah 12.1.1.6.2.4

Bagilah $4 y$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 4 y = 0$

Langkah 12.1.2

Kurangkan $4 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = - 4 y$

Langkah 13

Temukan $- 4 y$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = - 4 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 4 y d y$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 4 y d y$

Langkah 13.3

Karena $- 4$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 4$ keluar dari integral.

$g (y) = - 4 \int y d y$

Langkah 13.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 13.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.1

Tulis kembali $- 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ sebagai $- 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = - 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Langkah 13.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.2.1

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{- 4}{2} y^{2} + C$

Langkah 13.5.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 2}{2} y^{2} + C$

Langkah 13.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} y^{2} + C$

Langkah 13.5.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Langkah 13.5.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$g (y) = \frac{- 2}{1} y^{2} + C$

Langkah 13.5.2.2.2.4

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$g (y) = - 2 y^{2} + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = \frac{x}{y^{4}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y^{4}} - 2 y^{2} + C$