Kalkulus Contoh

$x y d x + 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y]$

Langkah 1.2

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x y$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1$

Langkah 1.4

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 2 (x^{2} + 2 y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 (x^{2} + 2 y^{2})]$

Langkah 2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 (x^{2} + 2 y^{2})$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 2 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

Langkah 2.5

Karena $2 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x + 0)$

Langkah 2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x)$

Langkah 2.6.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $x$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $4 x$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = 4 x$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$x = 4 x$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $4 x$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{4 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 4.2

Substitusikan $x$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{4 x - x}{M}$

Langkah 4.3

Substitusikan $x y$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $x y$ untuk $M$ .

$\frac{4 x - x}{x y}$

Langkah 4.3.2

Kurangi $x$ dengan $4 x$ .

$\frac{3 x}{x y}$

Langkah 4.3.3

Substitusikan $x y$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{x y}$

Langkah 4.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3}{y}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{3}{y} d y}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int \frac{3}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{3 \int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 5.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{3 (\ln (| y |) + C)}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| y |)} + C$

Langkah 5.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Sederhanakan $3 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{3})} + C$

Langkah 5.4.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| y |}^{3} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $x y d x + 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$ dengan faktor integral $y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $x y$ dengan $y^{3}$ .

$x y \cdot y^{3} d x + 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Langkah 6.2

Kalikan $y$ dengan $y^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Pindahkan $y^{3}$ .

$x (y^{3} y) d x + 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Langkah 6.2.2

Kalikan $y^{3}$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$x (y^{3} y^{1}) d x + 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Langkah 6.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x y^{3 + 1} d x + 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Langkah 6.2.3

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$x y^{4} d x + 2 (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Langkah 6.3

Kalikan $2 (x^{2} + 2 y^{2})$ dengan $y^{3}$ .

$x y^{4} d x + 2 (x^{2} + 2 y^{2}) y^{3} d y = 0$

Langkah 6.4

Terapkan sifat distributif.

$x y^{4} d x + (2 x^{2} + 2 (2 y^{2})) y^{3} d y = 0$

Langkah 6.5

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x y^{4} d x + (2 x^{2} + 4 y^{2}) y^{3} d y = 0$

Langkah 6.6

Terapkan sifat distributif.

$x y^{4} d x + (2 x^{2} y^{3} + 4 y^{2} y^{3}) d y = 0$

Langkah 6.7

Kalikan $y^{2}$ dengan $y^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1

Pindahkan $y^{3}$ .

$x y^{4} d x + (2 x^{2} y^{3} + 4 (y^{3} y^{2})) d y = 0$

Langkah 6.7.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x y^{4} d x + (2 x^{2} y^{3} + 4 y^{3 + 2}) d y = 0$

Langkah 6.7.3

Tambahkan $3$ dan $2$ .

$x y^{4} d x + (2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}) d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x y^{4} d x$

Langkah 8

Integralkan $M (x, y) = x y^{4}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Karena $y^{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $y^{4}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = y^{4} \int x d x$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 8.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Tulis kembali $y^{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $y^{4} \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = y^{4} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Gabungkan $y^{4}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{4}}{2} x^{2} + C$

Langkah 8.3.2.2

Gabungkan $\frac{y^{4}}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2}}{2} + C$

Langkah 8.3.3

Susun kembali suku-suku.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{4} x^{2} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{4} x^{2} + g (y)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{4} x^{2} + g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{2} y^{4} x^{2} + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{4} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{4} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{4} x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{4}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Langkah 11.3.2

Gabungkan $\frac{y^{4}}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Langkah 11.3.3

Karena $\frac{x^{2}}{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{y^{4} x^{2}}{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Langkah 11.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{x^{2}}{2} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Langkah 11.3.5

Gabungkan $4$ dan $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{4 x^{2}}{2} y^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Langkah 11.3.6

Gabungkan $\frac{4 x^{2}}{2}$ dan $y^{3}$ .

$\frac{4 x^{2} y^{3}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Langkah 11.3.7

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.7.1

Faktorkan $2$ dari $4 x^{2} y^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{2} y^{3})}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Langkah 11.3.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.7.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (2 x^{2} y^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Langkah 11.3.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (2 x^{2} y^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Langkah 11.3.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 x^{2} y^{3}}{1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Langkah 11.3.7.2.4

Bagilah $2 x^{2} y^{3}$ dengan $1$ .

$2 x^{2} y^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x^{2} y^{3} + \frac{d g}{d y} = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Langkah 11.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + 2 y^{3} x^{2} = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5}$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Kurangkan $2 y^{3} x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = 2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5} - 2 y^{3} x^{2}$

Langkah 12.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 x^{2} y^{3} + 4 y^{5} - 2 y^{3} x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $2 x^{2} y^{3}$ dan $- 2 y^{3} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y^{3} x^{2} + 4 y^{5} - 2 y^{3} x^{2}$

Langkah 12.1.2.2

Kurangi $2 y^{3} x^{2}$ dengan $2 y^{3} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{5} + 0$

Langkah 12.1.2.3

Tambahkan $4 y^{5}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{5}$

Langkah 13

Temukan $4 y^{5}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = 4 y^{5}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y^{5} d y$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 4 y^{5} d y$

Langkah 13.3

Karena $4$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$g (y) = 4 \int y^{5} d y$

Langkah 13.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{5}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{6} y^{6}$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{6} y^{6} + C)$

Langkah 13.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.1

Tulis kembali $4 (\frac{1}{6} y^{6} + C)$ sebagai $4 (\frac{1}{6}) y^{6} + C$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{6}) y^{6} + C$

Langkah 13.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.2.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{6}$ .

$g (y) = \frac{4}{6} y^{6} + C$

Langkah 13.5.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$g (y) = \frac{2 (2)}{6} y^{6} + C$

Langkah 13.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} y^{6} + C$

Langkah 13.5.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$g (y) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} y^{6} + C$

Langkah 13.5.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$g (y) = \frac{2}{3} y^{6} + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{4} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{4} x^{2} + \frac{2}{3} y^{6} + C$

Langkah 15

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{4}}{2} x^{2} + \frac{2}{3} y^{6} + C$

Langkah 15.2

Gabungkan $\frac{y^{4}}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2}}{2} + \frac{2}{3} y^{6} + C$

Langkah 15.3

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $y^{6}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2}}{2} + \frac{2 y^{6}}{3} + C$