Kalkulus Contoh

$x d y + (x y + y - 1) d x = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali.

$(x y + y - 1) d x + x d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x y + y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + y - 1]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y + y - 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x y$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 2.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 2.4.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1 + 0$

Langkah 2.4.3

Tambahkan $x + 1$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $x + 1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $1$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x + 1 = 1$

Langkah 4.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$x + 1 = 1$ bukan identitas.

Langkah 5

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $x + 1$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 5.2

Substitusikan $1$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x + 1 - 1}{N}$

Langkah 5.3

Substitusikan $x$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Substitusikan $x$ untuk $N$ .

$\frac{x + 1 - 1}{x}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{x + 0}{x}$

Langkah 5.3.2.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$\frac{x}{x}$

Langkah 5.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x}{x}$

Langkah 5.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1$

Langkah 5.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

Langkah 6

Evaluasi integral $e^{\int d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan aturan konstanta.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

Langkah 7

Kalikan kedua sisi $(x y + y - 1) d x + x d y = 0$ dengan faktor integral $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $x y + y - 1$ dengan $e^{x}$ .

$(x y + y - 1) e^{x} d x + x d y = 0$

Langkah 7.2

Terapkan sifat distributif.

$(x y e^{x} + y e^{x} - 1 e^{x}) d x + x d y = 0$

Langkah 7.3

Tulis kembali $- 1 e^{x}$ sebagai $- e^{x}$ .

$(x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}) d x + x d y = 0$

Langkah 7.4

Kalikan $x$ dengan $e^{x}$ .

$(x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}) d x + x e^{x} d y = 0$

Langkah 8

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x} d y$

Langkah 9

Integralkan $N (x, y) = x e^{x}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = x e^{x} y + C$

Langkah 10

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + g (x)$

Langkah 11

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Langkah 12

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y + g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Langkah 12.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x e^{x} y + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Langkah 12.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x e^{x} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x e^{x} y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Langkah 12.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = e^{x}$ .

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Langkah 12.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Langkah 12.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Langkah 12.3.5

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Langkah 12.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Langkah 12.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Terapkan sifat distributif.

$y (x e^{x}) + y e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Langkah 12.5.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Langkah 12.5.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Langkah 13

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Kurangkan $x y e^{x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x} - x y e^{x}$

Langkah 13.1.2

Kurangkan $y e^{x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$

Langkah 13.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $x y e^{x} + y e^{x} - e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.3.1

Kurangi $x y e^{x}$ dengan $x y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + y e^{x} - e^{x} - y e^{x}$

Langkah 13.1.3.2

Tambahkan $0$ dan $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} - e^{x} - y e^{x}$

Langkah 13.1.3.3

Kurangi $y e^{x}$ dengan $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 - e^{x}$

Langkah 13.1.3.4

Kurangi $e^{x}$ dengan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - e^{x}$

Langkah 14

Temukan $- e^{x}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = - e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - e^{x} d x$

Langkah 14.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - e^{x} d x$

Langkah 14.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (x) = - \int e^{x} d x$

Langkah 14.4

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$g (x) = - (e^{x} + C)$

Langkah 14.5

Sederhanakan.

$g (x) = - e^{x} + C$

Langkah 15

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = x e^{x} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x} y - e^{x} + C$

Langkah 16

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = x e^{x} y - e^{x} + C$ .

$f (x, y) = x y e^{x} - e^{x} + C$