Kalkulus Contoh

$3 \frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = 2 x^{4} y^{4}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik Bernoulli.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagilah setiap suku di $3 \frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = 2 x^{4} y^{4}$ dengan $3$ .

$\frac{3 \frac{d y}{d x}}{3} + \frac{\frac{3}{x} y}{3} = \frac{2 x^{4} y^{4}}{3}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \frac{d y}{d x}}{3} + \frac{\frac{3}{x} y}{3} = \frac{2 x^{4} y^{4}}{3}$

Langkah 1.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{3}{x} y}{3} = \frac{2 x^{4} y^{4}}{3}$

Langkah 1.3

Gabungkan $\frac{3}{x}$ dan $y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3 y}{x} = \frac{2}{3} x^{4} y^{4}$

Langkah 1.4

Faktorkan $y$ dari $\frac{1}{3} \cdot \frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x}) = \frac{2}{3} x^{4} y^{4}$

Langkah 1.5

Susun kembali $y$ dan $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} y = \frac{2}{3} x^{4} y^{4}$

Langkah 2

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial, biarkan $v = y^{1 - n}$ di mana $n$ adalah eksponen dari $y^{4}$ .

$v = y^{- 3}$

Langkah 3

Selesaikan persamaan untuk $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{3}}$

Langkah 4

Ambil turunan dari $y$ terhadap $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{3}}$

Langkah 5

Ambil turunan dari $v^{- \frac{1}{3}}$ terhadap $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ambil turunan dari $v^{- \frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{3}}]$

Langkah 5.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{3}}}]$

Langkah 5.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 1$ dan $g (x) = v^{\frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Langkah 5.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Langkah 5.4.2

Kalikan eksponen dalam ${(v^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Langkah 5.4.2.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $2$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 5.4.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 5.4.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.4.1

Kalikan $v^{\frac{1}{3}}$ dengan $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 5.4.4.2

Kurangi $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]$ dengan $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 5.4.4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 5.5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ dan $g (x) = v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 5.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 5.5.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 5.6

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 5.7

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 5.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 5.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 5.9.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 5.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 5.11

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $v^{- \frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 5.12

Pindahkan $v^{- \frac{2}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 5.13

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [v]$ sebagai $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} v'}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 5.14

Gabungkan $\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ dan $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 5.15

Tulis kembali $\frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$ sebagai hasil kali.

$y' = - (\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{2}{3}}})$

Langkah 5.16

Kalikan $\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ dengan $\frac{1}{v^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 5.17

Kalikan $v^{\frac{2}{3}}$ dengan $v^{\frac{2}{3}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.17.1

Pindahkan $v^{\frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 (v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}})}$

Langkah 5.17.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Langkah 5.17.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Langkah 5.17.4

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 6

Substitusikan $- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ dengan $\frac{d y}{d x}$ dan $v^{- \frac{1}{3}}$ dengan $y$ dalam persamaan asli $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} y = \frac{2}{3} x^{4} y^{4}$ .

$- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$

Langkah 7

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Kalikan setiap suku pada $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ dengan $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ dengan $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 7.1.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3 v^{\frac{4}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.2.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 7.1.1.2.1.1.2

Faktorkan $3 v^{\frac{4}{3}}$ dari $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} (- 1)) + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 7.1.1.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} \cdot - 1) + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 7.1.1.2.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 7.1.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 7.1.1.2.1.3

Kalikan $\frac{d v}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 7.1.1.2.1.4

Kalikan $v^{- \frac{1}{3}}$ dengan $v^{\frac{4}{3}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.2.1.4.1

Pindahkan $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{1}{3}}) (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 7.1.1.2.1.4.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 7.1.1.2.1.4.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{\frac{4 - 1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 7.1.1.2.1.4.4

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{\frac{3}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 7.1.1.2.1.4.5

Bagilah $3$ dengan $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{1} (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 7.1.1.2.1.5

Sederhanakan $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{1} (- 1 \cdot (3))$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 7.1.1.2.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.2.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 7.1.1.2.1.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 7.1.1.2.1.7

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 7.1.1.2.1.8

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} \cdot - 3 = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 7.1.1.2.1.9

Gabungkan $\frac{v}{x}$ dan $- 3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v \cdot - 3}{x} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 7.1.1.2.1.10

Pindahkan $- 3$ ke sebelah kiri $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 3 \cdot v}{x} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 7.1.1.2.1.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 7.1.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{4}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = \frac{2 x^{4}}{3} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Langkah 7.1.1.3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 1 \cdot 3 \frac{2 x^{4}}{3} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Langkah 7.1.1.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.3.1

Faktorkan $3$ dari $- 1 \cdot 3$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = 3 \cdot - 1 \frac{2 x^{4}}{3} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Langkah 7.1.1.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = 3 \cdot - 1 \frac{2 x^{4}}{3} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Langkah 7.1.1.3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - (2 x^{4}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Langkah 7.1.1.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.4.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Langkah 7.1.1.3.4.2

Kalikan eksponen dalam ${(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.4.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{- \frac{1}{3} \cdot 4} v^{\frac{4}{3}}$

Langkah 7.1.1.3.4.2.2

Kalikan $- \frac{1}{3} \cdot 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.4.2.2.1

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{- 4 (\frac{1}{3})} v^{\frac{4}{3}}$

Langkah 7.1.1.3.4.2.2.2

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{\frac{- 4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Langkah 7.1.1.3.4.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{- \frac{4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Langkah 7.1.1.3.5

Kalikan $v^{- \frac{4}{3}}$ dengan $v^{\frac{4}{3}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.5.1

Pindahkan $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{4}{3}})$

Langkah 7.1.1.3.5.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{\frac{4}{3} - \frac{4}{3}}$

Langkah 7.1.1.3.5.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{\frac{4 - 4}{3}}$

Langkah 7.1.1.3.5.4

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{\frac{0}{3}}$

Langkah 7.1.1.3.5.5

Bagilah $0$ dengan $3$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{0}$

Langkah 7.1.1.3.6

Sederhanakan $- 2 x^{4} v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4}$

Langkah 7.1.2

Faktorkan $v$ dari $- \frac{3 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{3}{x}) = - 2 x^{4}$

Langkah 7.1.3

Susun kembali $v$ dan $- \frac{3}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v = - 2 x^{4}$

Langkah 7.2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - \frac{3}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Buat integralnya.

$e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Langkah 7.2.2

Integralkan $- \frac{3}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Langkah 7.2.2.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Langkah 7.2.2.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 7.2.2.4

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 7.2.2.5

Sederhanakan.

$e^{- 3 \ln (| x |) + C}$

Langkah 7.2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- 3 \ln (x)}$

Langkah 7.2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{- 3})}$

Langkah 7.2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{- 3}$

Langkah 7.2.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}}$

Langkah 7.3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\frac{1}{x^{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Kalikan setiap suku dengan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} v) = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

Langkah 7.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x^{3}}$ dan $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} v) = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

Langkah 7.3.2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (\frac{3}{x} v) = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

Langkah 7.3.2.3

Gabungkan $\frac{3}{x}$ dan $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 v}{x} = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

Langkah 7.3.2.4

Kalikan $- \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 v}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.4.1

Kalikan $\frac{3 v}{x}$ dengan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x \cdot x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

Langkah 7.3.2.4.2

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.4.2.1

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.4.2.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{1} x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

Langkah 7.3.2.4.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{1 + 3}} = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

Langkah 7.3.2.4.2.2

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

Langkah 7.3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = - 2 \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

Langkah 7.3.4

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = \frac{- 2}{x^{3}} x^{4}$

Langkah 7.3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.5.1

Faktorkan $x^{3}$ dari $x^{4}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = \frac{- 2}{x^{3}} (x^{3} x)$

Langkah 7.3.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = \frac{- 2}{x^{3}} (x^{3} x)$

Langkah 7.3.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = - 2 x$

Langkah 7.4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} v] = - 2 x$

Langkah 7.5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} v] d x = \int - 2 x d x$

Langkah 7.6

Integralkan sisi kiri.

$\frac{1}{x^{3}} v = \int - 2 x d x$

Langkah 7.7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{x^{3}} v = - 2 \int x d x$

Langkah 7.7.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{3}} v = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 7.7.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.3.1

Tulis kembali $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$\frac{1}{x^{3}} v = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Langkah 7.7.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.3.2.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{3}} v = \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

Langkah 7.7.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{1}{x^{3}} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

Langkah 7.7.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.3.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{1}{x^{3}} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

Langkah 7.7.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x^{3}} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Langkah 7.7.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{x^{3}} v = \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

Langkah 7.7.3.2.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{x^{3}} v = - x^{2} + C$

Langkah 7.8

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.1

Gabungkan $\frac{1}{x^{3}}$ dan $v$ .

$\frac{v}{x^{3}} = - x^{2} + C$

Langkah 7.8.2

Kalikan kedua ruas dengan $x^{3}$ .

$\frac{v}{x^{3}} x^{3} = (- x^{2} + C) x^{3}$

Langkah 7.8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{v}{x^{3}} x^{3} = (- x^{2} + C) x^{3}$

Langkah 7.8.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$v = (- x^{2} + C) x^{3}$

Langkah 7.8.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.3.2.1

Sederhanakan $(- x^{2} + C) x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$v = - x^{2} x^{3} + C x^{3}$

Langkah 7.8.3.2.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.3.2.1.2.1

Pindahkan $x^{3}$ .

$v = - (x^{3} x^{2}) + C x^{3}$

Langkah 7.8.3.2.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$v = - x^{3 + 2} + C x^{3}$

Langkah 7.8.3.2.1.2.3

Tambahkan $3$ dan $2$ .

$v = - x^{5} + C x^{3}$

Langkah 8

Substitusikan $y^{- 3}$ untuk $v$ .

$y^{- 3} = - x^{5} + C x^{3}$