Kalkulus Contoh

$x \sin (\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} + x - y \sin (\frac{y}{x}) = 0$

Langkah 1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $x \sin (\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} + x - y \sin (\frac{y}{x})$ .

$x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) + x - y \sin (\frac{y}{x}) = 0$

Langkah 1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d y}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) - y \sin (\frac{y}{x}) = - x$

Langkah 1.2.2

Tambahkan $y \sin (\frac{y}{x})$ ke kedua sisi persamaan.

$x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) = - x + y \sin (\frac{y}{x})$

Langkah 1.3

Bagi setiap suku pada $x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) = - x + y \sin (\frac{y}{x})$ dengan $x \sin (\frac{y}{x})$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) = - x + y \sin (\frac{y}{x})$ dengan $x \sin (\frac{y}{x})$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Langkah 1.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Langkah 1.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{\sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Langkah 1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\sin (\frac{y}{x})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{\sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Langkah 1.3.2.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Langkah 1.3.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{\sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Langkah 1.3.3.1.2

Pisahkan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Langkah 1.3.3.1.3

Konversikan dari $\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})}$ ke $\csc (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{1} \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Langkah 1.3.3.1.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Langkah 1.3.3.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $\sin (\frac{y}{x})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = - \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Langkah 1.3.3.1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = - \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y}{x}$

Langkah 2

Biarkan $V = \frac{y}{x}$ . Substitusikan $V$ ke $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \csc (V) + V$

Langkah 3

Selesaikan $V = \frac{y}{x}$ untuk $y$ .

$y = V x$

Langkah 4

Gunakan kaidah hasil kali untuk mencari turunan dari $y = V x$ terhadap $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Langkah 5

Substitusikan $x \frac{d V}{d x} + V$ untuk $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - \csc (V) + V$

Langkah 6

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Selesaikan $\frac{d V}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d V}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.1

Kurangkan $V$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d V}{d x} = - \csc (V) + V - V$

Langkah 6.1.1.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $- \csc (V) + V - V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1.2.1

Kurangi $V$ dengan $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \csc (V) + 0$

Langkah 6.1.1.1.2.2

Tambahkan $- \csc (V)$ dan $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \csc (V)$

Langkah 6.1.1.2

Bagi setiap suku pada $x \frac{d V}{d x} = - \csc (V)$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d V}{d x} = - \csc (V)$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \csc (V)}{x}$

Langkah 6.1.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \csc (V)}{x}$

Langkah 6.1.1.2.2.1.2

Bagilah $\frac{d V}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \csc (V)}{x}$

Langkah 6.1.1.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{\csc (V)}{x}$

Langkah 6.1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{\csc (V)}$ .

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\csc (V)} (- \frac{\csc (V)}{x})$

Langkah 6.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

Langkah 6.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\csc (V)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{\csc (V)}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

Langkah 6.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

Langkah 6.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{\csc (V)} d V = - \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{\csc (V)} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Tulis kembali $\csc (V)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (V)}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.1.2

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\sin (V)}$ .

$\int 1 \sin (V) d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.1.3

Kalikan $\sin (V)$ dengan $1$ .

$\int \sin (V) d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.2

Integral dari $\sin (V)$ terhadap $V$ adalah $- \cos (V)$ .

$- \cos (V) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \cos (V) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.3.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$- \cos (V) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Langkah 6.2.3.3

Sederhanakan.

$- \cos (V) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 6.2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \cos (V) = - \ln (| x |) + C$

Langkah 6.3

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Bagi setiap suku pada $- \cos (V) = - \ln (| x |) + C$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Bagilah setiap suku di $- \cos (V) = - \ln (| x |) + C$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \cos (V)}{- 1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 6.3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\cos (V)}{1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 6.3.1.2.2

Bagilah $\cos (V)$ dengan $1$ .

$\cos (V) = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 6.3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.3.1.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\cos (V) = \frac{\ln (| x |)}{1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 6.3.1.3.1.2

Bagilah $\ln (| x |)$ dengan $1$ .

$\cos (V) = \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Langkah 6.3.1.3.1.3

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{C}{- 1}$ .

$\cos (V) = \ln (| x |) - 1 \cdot C$

Langkah 6.3.1.3.1.4

Tulis kembali $- 1 \cdot C$ sebagai $- C$ .

$\cos (V) = \ln (| x |) - C$

Langkah 6.3.2

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $V$ dari dalam kosinus.

$V = \arccos (\ln (| x |) - C)$

Langkah 6.4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$V = \arccos (\ln (| x |) + C)$

Langkah 7

Substitusikan $\frac{y}{x}$ untuk $V$ .

$\frac{y}{x} = \arccos (\ln (| x |) + C)$

Langkah 8

Selesaikan $\frac{y}{x} = \arccos (\ln (| x |) + C)$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{y}{x} x = \arccos (\ln (| x |) + C) x$

Langkah 8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} x = \arccos (\ln (| x |) + C) x$

Langkah 8.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \arccos (\ln (| x |) + C) x$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $\arccos (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \arccos (\ln (| x |) + C)$