Kalkulus Contoh

$(4 x^{3} y - 15 x^{2} - y) d x + (x^{4} + 3 y^{2} - x) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 4 x^{3} y - 15 x^{2} - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x^{3} y - 15 x^{2} - y]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{3} y - 15 x^{2} - y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [4 x^{3} y] + \frac{d}{d y} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x^{3} y] + \frac{d}{d y} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [4 x^{3} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $4 x^{3}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $4 x^{3} y$ terhadap $y$ adalah $4 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} + \frac{d}{d y} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 1.4

Karena $- 15 x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 15 x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} + 0 + \frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 1.5

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} + 0 - \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} + 0 - 1 \cdot 1$

Langkah 1.5.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} + 0 - 1$

Langkah 1.6

Tambahkan $4 x^{3}$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} - 1$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x^{4} + 3 y^{2} - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4} + 3 y^{2} - x]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} + 3 y^{2} - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.2.3

Karena $3 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} + 0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} + 0 - \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} + 0 - 1 \cdot 1$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} + 0 - 1$

Langkah 2.4

Tambahkan $4 x^{3}$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} - 1$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $4 x^{3} - 1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $4 x^{3} - 1$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 x^{3} - 1 = 4 x^{3} - 1$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$4 x^{3} - 1 = 4 x^{3} - 1$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 x^{3} y - 15 x^{2} - y d x$

Langkah 5

Integralkan $M (x, y) = 4 x^{3} y - 15 x^{2} - y$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int 4 x^{3} y d x + \int - 15 x^{2} d x + \int - y d x$

Langkah 5.2

Karena $4 y$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4 y$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 4 y \int x^{3} d x + \int - 15 x^{2} d x + \int - y d x$

Langkah 5.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 4 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 15 x^{2} d x + \int - y d x$

Langkah 5.4

Karena $- 15$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 15$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 4 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 15 \int x^{2} d x + \int - y d x$

Langkah 5.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 4 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - y d x$

Langkah 5.6

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = 4 y (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - y x + C$

Langkah 5.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$f (x, y) = 4 y (\frac{x^{4}}{4} + C) - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - y x + C$

Langkah 5.7.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$f (x, y) = 4 y (\frac{x^{4}}{4} + C) - 15 (\frac{x^{3}}{3} + C) - y x + C$

Langkah 5.8

Sederhanakan.

$f (x, y) = y x^{4} - 5 x^{3} - y x + C$

Langkah 6

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{4} - 5 x^{3} - y x + g (y)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{4} - 5 x^{3} - y x + g (y)] = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y x^{4} - 5 x^{3} - y x + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $x^{4}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y x^{4}$ terhadap $y$ adalah $x^{4} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{4} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Langkah 8.3.3

Kalikan $x^{4}$ dengan $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d y} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Langkah 8.4

Karena $- 5 x^{3}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 5 x^{3}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$x^{4} + 0 + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Langkah 8.5

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- y x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Karena $- x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y x$ terhadap $y$ adalah $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{4} + 0 - x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Langkah 8.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{4} + 0 - x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Langkah 8.5.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$x^{4} + 0 - x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Langkah 8.6

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{4} + 0 - x + \frac{d g}{d y} = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Langkah 8.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.7.1

Tambahkan $x^{4}$ dan $0$ .

$x^{4} - x + \frac{d g}{d y} = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Langkah 8.7.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + x^{4} - x = x^{4} + 3 y^{2} - x$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $x^{4}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} - x = x^{4} + 3 y^{2} - x - x^{4}$

Langkah 9.1.2

Tambahkan $x$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d y} = x^{4} + 3 y^{2} - x - x^{4} + x$

Langkah 9.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $x^{4} + 3 y^{2} - x - x^{4} + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Kurangi $x^{4}$ dengan $x^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} - x + 0 + x$

Langkah 9.1.3.2

Tambahkan $3 y^{2} - x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} - x + x$

Langkah 9.1.3.3

Tambahkan $- x$ dan $x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 0$

Langkah 9.1.3.4

Tambahkan $3 y^{2}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2}$

Langkah 10

Temukan $3 y^{2}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = 3 y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 y^{2} d y$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 3 y^{2} d y$

Langkah 10.3

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$g (y) = 3 \int y^{2} d y$

Langkah 10.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Langkah 10.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Tulis kembali $3 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ sebagai $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Langkah 10.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} + C$

Langkah 10.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} + C$

Langkah 10.5.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$g (y) = 1 y^{3} + C$

Langkah 10.5.2.3

Kalikan $y^{3}$ dengan $1$ .

$g (y) = y^{3} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = y x^{4} - 5 x^{3} - y x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{4} - 5 x^{3} - y x + y^{3} + C$