Kalkulus Contoh

$(x y + y + y^{2}) d x + (x + 2 y) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x y + y + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + y + y^{2}]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y + y + y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x y$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1 + 2 y$

Langkah 1.4.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 2 y + 1$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x + 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 2 y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Langkah 2.4

Karena $2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Langkah 2.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $x + 2 y + 1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $1$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x + 2 y + 1 = 1$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$x + 2 y + 1 = 1$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $x + 2 y + 1$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x + 2 y + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 4.2

Substitusikan $1$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x + 2 y + 1 - 1}{N}$

Langkah 4.3

Substitusikan $x + 2 y$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $x + 2 y$ untuk $N$ .

$\frac{x + 2 y + 1 - 1}{x + 2 y}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{x + 2 y + 0}{x + 2 y}$

Langkah 4.3.2.2

Tambahkan $x + 2 y$ dan $0$ .

$\frac{x + 2 y}{x + 2 y}$

Langkah 4.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x + 2 y}{x + 2 y}$

Langkah 4.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan aturan konstanta.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(x y + y + y^{2}) d x + (x + 2 y) d y = 0$ dengan faktor integral $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $x y + y + y^{2}$ dengan $e^{x}$ .

$(x y + y + y^{2}) e^{x} d x + (x + 2 y) d y = 0$

Langkah 6.2

Terapkan sifat distributif.

$(x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}) d x + (x + 2 y) d y = 0$

Langkah 6.3

Kalikan $x + 2 y$ dengan $e^{x}$ .

$(x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}) d x + (x + 2 y) e^{x} d y = 0$

Langkah 6.4

Terapkan sifat distributif.

$(x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}) d x + (x e^{x} + 2 y e^{x}) d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x} + 2 y e^{x} d y$

Langkah 8

Integralkan $N (x, y) = x e^{x} + 2 y e^{x}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int x e^{x} d y + \int 2 y e^{x} d y$

Langkah 8.2

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = x e^{x} y + C + \int 2 y e^{x} d y$

Langkah 8.3

Karena $2 e^{x}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2 e^{x}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = x e^{x} y + C + 2 e^{x} \int y d y$

Langkah 8.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + C + 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 8.5

Sederhanakan.

$f (x, y) = x e^{x} y + 2 \cdot \frac{1}{2} e^{x} y^{2} + C$

Langkah 8.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + \frac{2}{2} e^{x} y^{2} + C$

Langkah 8.6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = x e^{x} y + \frac{2}{2} e^{x} y^{2} + C$

Langkah 8.6.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = x e^{x} y + 1 e^{x} y^{2} + C$

Langkah 8.6.3

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + g (x)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y + e^{x} y^{2} + g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x e^{x} y + e^{x} y^{2} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x e^{x} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x e^{x} y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Langkah 11.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = e^{x}$ .

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Langkah 11.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Langkah 11.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Langkah 11.3.5

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Langkah 11.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Karena $y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $e^{x} y^{2}$ terhadap $x$ adalah $y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Langkah 11.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + y^{2} e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Langkah 11.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + y^{2} e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Langkah 11.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.6.1

Terapkan sifat distributif.

$y (x e^{x}) + y e^{x} + y^{2} e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Langkah 11.6.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y + e^{x} y^{2} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Langkah 11.6.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y + e^{x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x}$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Kurangkan $x y e^{x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x}$

Langkah 12.1.2

Kurangkan $y e^{x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$

Langkah 12.1.3

Kurangkan $y^{2} e^{x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x} - y e^{x} - y^{2} e^{x}$

Langkah 12.1.4

Gabungkan suku balikan dalam $x y e^{x} + y e^{x} + y^{2} e^{x} - x y e^{x} - y e^{x} - y^{2} e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.4.1

Kurangi $x y e^{x}$ dengan $x y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + y^{2} e^{x} + 0 - y e^{x} - y^{2} e^{x}$

Langkah 12.1.4.2

Tambahkan $y e^{x} + y^{2} e^{x}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} + y^{2} e^{x} - y e^{x} - y^{2} e^{x}$

Langkah 12.1.4.3

Kurangi $y e^{x}$ dengan $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x} + 0 - y^{2} e^{x}$

Langkah 12.1.4.4

Tambahkan $y^{2} e^{x}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x} - y^{2} e^{x}$

Langkah 12.1.4.5

Kurangi $y^{2} e^{x}$ dengan $y^{2} e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Langkah 13

Temukan $0$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Langkah 13.3

Integral dari $0$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Langkah 13.4

Tambahkan $0$ dan $C$ .

$g (x) = C$

Langkah 14

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + C$

Langkah 15

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = x e^{x} y + e^{x} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = x y e^{x} + y^{2} e^{x} + C$