Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x + 2}{y^{2} - 1}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $y^{2} - 1$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{3 x + 2}{y^{2} - 1}$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{3 x + 2}{y^{2} - 1^{2}}$

Langkah 1.2.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = y$ dan $b = 1$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{3 x + 2}{(y + 1) (y - 1)}$

Langkah 1.2.2

Kalikan $y^{2} - 1$ dengan $\frac{3 x + 2}{(y + 1) (y - 1)}$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} - 1) (3 x + 2)}{(y + 1) (y - 1)}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} - 1^{2}) (3 x + 2)}{(y + 1) (y - 1)}$

Langkah 1.2.3.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = y$ dan $b = 1$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1) (3 x + 2)}{(y + 1) (y - 1)}$

Langkah 1.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1) (3 x + 2)}{(y + 1) (y - 1)}$

Langkah 1.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (3 x + 2)}{y - 1}$

Langkah 1.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (3 x + 2)}{y - 1}$

Langkah 1.2.5.2

Bagilah $3 x + 2$ dengan $1$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 3 x + 2$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$(y^{2} - 1) d y = (3 x + 2) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y^{2} - 1 d y = \int 3 x + 2 d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int y^{2} d y + \int - 1 d y = \int 3 x + 2 d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int - 1 d y = \int 3 x + 2 d x$

Langkah 2.2.3

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} - y + C_{2} = \int 3 x + 2 d x$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \int 3 x + 2 d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \int 3 x d x + \int 2 d x$

Langkah 2.3.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = 3 \int x d x + \int 2 d x$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int 2 d x$

Langkah 2.3.4

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 2 x + C_{5}$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = 3 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + 2 x + C_{5}$

Langkah 2.3.5.2

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + C_{6}$

Langkah 2.3.5.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + C_{6}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} - y = \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + K$