Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2}}{\cos (π x)}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{3 y^{2}}{\cos (π x)}$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gabungkan.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (3 y^{2})}{y^{2} \cos (π x)}$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (3 y^{2})}{y^{2} \cos (π x)}$

Langkah 1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot (3)}{\cos (π x)}$

Langkah 1.2.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{\cos (π x)}$

Langkah 1.2.4

Pisahkan pecahan.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\cos (π x)}$

Langkah 1.2.5

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (π x)}$ ke $\sec (π x)$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{1} \sec (π x)$

Langkah 1.2.6

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 3 \sec (π x)$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{2}} d y = 3 \sec (π x) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 3 \sec (π x) d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Pindahkan $y^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 3 \sec (π x) d x$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 3 \sec (π x) d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 3 \sec (π x) d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 2}$ terhadap $y$ adalah $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 3 \sec (π x) d x$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $- y^{- 1} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 3 \sec (π x) d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 \int \sec (π x) d x$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u = π x$ . Kemudian $d u = π d x$ sehingga $\frac{1}{π} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u = π x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Langkah 2.3.2.1.2

Karena $π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $π x$ terhadap $x$ adalah $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Langkah 2.3.2.1.4

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 \int \sec (u) \frac{1}{π} d u$

Langkah 2.3.3

Gabungkan $\sec (u)$ dan $\frac{1}{π}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 \int \frac{\sec (u)}{π} d u$

Langkah 2.3.4

Karena $\frac{1}{π}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{π}$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 (\frac{1}{π} \int \sec (u) d u)$

Langkah 2.3.5

Gabungkan $\frac{1}{π}$ dan $3$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{3}{π} \int \sec (u) d u$

Langkah 2.3.6

Integral dari $\sec (u)$ terhadap $u$ adalah $\ln (| \sec (u) + \tan (u) |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{3}{π} (\ln (| \sec (u) + \tan (u) |) + C_{2})$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{3}{π} \ln (| \sec (u) + \tan (u) |) + C_{2}$

Langkah 2.3.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $π x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{3}{π} \ln (| \sec (π x) + \tan (π x) |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{3}{π} \ln (| \sec (π x) + \tan (π x) |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan $\frac{3}{π} \ln (| \sec (π x) + \tan (π x) |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Gabungkan $\frac{3}{π}$ dan $\ln (| \sec (π x) + \tan (π x) |)$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{3 \ln (| \sec (π x) + \tan (π x) |)}{π} + C$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan $3 \ln (| \sec (π x) + \tan (π x) |)$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$- \frac{1}{y} = \frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C$

Langkah 3.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$y, π, 1$

Langkah 3.2.2

Karena $y, π, 1$ memiliki bilangan dan variabel, ada dua langkah untuk menemukan KPK. Temukan KPK untuk bagian numerik $1, 1, 1$ kemudian temukan KPK untuk bagian variabel $y^{1}$ .

Langkah 3.2.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 3.2.4

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 3.2.5

KPK dari $1, 1, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$1$

Langkah 3.2.6

Faktor untuk $y^{1}$ adalah $y$ itu sendiri.

$y^{1} = y$

$y$ terjadi $1$ kali.

Langkah 3.2.7

KPK dari $y^{1}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$y$

Langkah 3.3

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{y} = \frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C$ dengan $y$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{y} = \frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C$ dengan $y$ .

$- \frac{1}{y} y = \frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} y + C y$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{y} y = \frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} y + C y$

Langkah 3.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{y} y = \frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} y + C y$

Langkah 3.3.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = \frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} y + C y$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Gabungkan $\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π}$ dan $y$ .

$- 1 = \frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3}) y}{π} + C y$

Langkah 3.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3}) y}{π} + C y$ .

$- 1 = \frac{y \ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C y$

Langkah 3.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{y \ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C y = - 1$ .

$\frac{y \ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C y = - 1$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $y$ dari $\frac{y \ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Faktorkan $y$ dari $\frac{y \ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π}$ .

$y (\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π}) + C y = - 1$

Langkah 3.4.2.2

Faktorkan $y$ dari $C y$ .

$y (\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π}) + y C = - 1$

Langkah 3.4.2.3

Faktorkan $y$ dari $y \frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + y C$ .

$y (\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C) = - 1$

Langkah 3.4.3

Bagi setiap suku pada $y (\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C) = - 1$ dengan $\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Bagilah setiap suku di $y (\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C) = - 1$ dengan $\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C$ .

$\frac{y (\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C)}{\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C} = \frac{- 1}{\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C}$

Langkah 3.4.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C)}{\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C} = \frac{- 1}{\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C}$

Langkah 3.4.3.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- 1}{\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C}$

Langkah 3.4.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{1}{\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C}$