Kalkulus Contoh

$x^{2} d y + (x y + x^{2}) d x = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali.

$(x y + x^{2}) d x + x^{2} d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x y + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + x^{2}]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y + x^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x y$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $x$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $2 x$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = 2 x$

Langkah 4.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$x = 2 x$ bukan identitas.

Langkah 5

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $x$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 5.2

Substitusikan $2 x$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x - (2 x)}{N}$

Langkah 5.3

Substitusikan $x^{2}$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Substitusikan $x^{2}$ untuk $N$ .

$\frac{x - (2 x)}{x^{2}}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Faktorkan $x$ dari $x - 1 \cdot 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{1} - 1 \cdot 2 x}{x^{2}}$

Langkah 5.3.2.1.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 1 \cdot 2 x}{x^{2}}$

Langkah 5.3.2.1.3

Faktorkan $x$ dari $- 1 \cdot 2 x$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 1 \cdot 2)}{x^{2}}$

Langkah 5.3.2.1.4

Faktorkan $x$ dari $x \cdot 1 + x (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x (1 - 1 \cdot 2)}{x^{2}}$

Langkah 5.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{x (1 - 2)}{x^{2}}$

Langkah 5.3.2.3

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{x^{2}}$

Langkah 5.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Faktorkan $x$ dari $x \cdot - 1$ .

$\frac{x (- 1)}{x^{2}}$

Langkah 5.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{x (- 1)}{x \cdot x}$

Langkah 5.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \cdot - 1}{x \cdot x}$

Langkah 5.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{x}$

Langkah 5.3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{x}$

Langkah 5.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Langkah 6

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 6.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

Langkah 6.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Sederhanakan $- \ln (| x |)$ dengan memindahkan $- 1$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

Langkah 6.4.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

Langkah 6.4.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

Langkah 7

Kalikan kedua sisi $(x y + x^{2}) d x + x^{2} d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $x y + x^{2}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$(x y + x^{2}) \frac{1}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Langkah 7.2

Kalikan $x y + x^{2}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y + x^{2}}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Langkah 7.3

Faktorkan $x$ dari $x y + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Faktorkan $x$ dari $x y$ .

$\frac{x (y) + x^{2}}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Langkah 7.3.2

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{x (y) + x \cdot x}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Langkah 7.3.3

Faktorkan $x$ dari $x (y) + x \cdot x$ .

$\frac{x (y + x)}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Langkah 7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x (y + x)}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Langkah 7.4.2

Bagilah $y + x$ dengan $1$ .

$(y + x) d x + x^{2} d y = 0$

Langkah 7.5

Kalikan $x^{2}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$(y + x) d x + x^{2} \frac{1}{x} d y = 0$

Langkah 7.6

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$(y + x) d x + x \cdot x \frac{1}{x} d y = 0$

Langkah 7.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$(y + x) d x + x \cdot x \frac{1}{x} d y = 0$

Langkah 7.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$(y + x) d x + x d y = 0$

Langkah 8

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x d y$

Langkah 9

Integralkan $N (x, y) = x$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = x y + C$

Langkah 10

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = x y + g (x)$

Langkah 11

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y + x$

Langkah 12

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [x y + g (x)] = y + x$

Langkah 12.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

Langkah 12.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

Langkah 12.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

Langkah 12.3.3

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

Langkah 12.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$y + \frac{d g}{d x} = y + x$

Langkah 12.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + y = y + x$

Langkah 13

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = y + x - y$

Langkah 13.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $y + x - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.2.1

Kurangi $y$ dengan $y$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Langkah 13.1.2.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Langkah 14

Temukan $x$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Langkah 14.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Langkah 14.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 15

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = x y + g (x)$ .

$f (x, y) = x y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 16

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = x y + \frac{x^{2}}{2} + C$