Kalkulus Contoh

$(2 x + 6 x^{2} y) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 2 x + 6 x^{2} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + 6 x^{2} y]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 6 x^{2} y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [6 x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [6 x^{2} y]$

Langkah 1.2.2

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [6 x^{2} y]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [6 x^{2} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $6 x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $6 x^{2} y$ terhadap $y$ adalah $6 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x^{2} \cdot 1$

Langkah 1.3.3

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x^{2}$

Langkah 1.4

Tambahkan $0$ dan $6 x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x^{2}$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 3 x^{3} - 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 2 x y]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{3} - 2 x y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- 2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x y$ terhadap $x$ adalah $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} - 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} - 2 y \cdot 1$

Langkah 2.4.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} - 2 y$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $6 x^{2}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $9 x^{2} - 2 y$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 x^{2} = 9 x^{2} - 2 y$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$6 x^{2} = 9 x^{2} - 2 y$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $6 x^{2}$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{6 x^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 4.2

Substitusikan $9 x^{2} - 2 y$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{6 x^{2} - (9 x^{2} - 2 y)}{N}$

Langkah 4.3

Substitusikan $3 x^{3} - 2 x y$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $3 x^{3} - 2 x y$ untuk $N$ .

$\frac{6 x^{2} - (9 x^{2} - 2 y)}{3 x^{3} - 2 x y}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{6 x^{2} - (9 x^{2}) - (- 2 y)}{3 x^{3} - 2 x y}$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan $9$ dengan $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 9 x^{2} - (- 2 y)}{3 x^{3} - 2 x y}$

Langkah 4.3.2.3

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 9 x^{2} + 2 y}{3 x^{3} - 2 x y}$

Langkah 4.3.2.4

Kurangi $9 x^{2}$ dengan $6 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 2 y}{3 x^{3} - 2 x y}$

Langkah 4.3.3

Faktorkan $x$ dari $3 x^{3} - 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Faktorkan $x$ dari $3 x^{3}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 2 y}{x (3 x^{2}) - 2 x y}$

Langkah 4.3.3.2

Faktorkan $x$ dari $- 2 x y$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 2 y}{x (3 x^{2}) + x (- 2 y)}$

Langkah 4.3.3.3

Faktorkan $x$ dari $x (3 x^{2}) + x (- 2 y)$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 2 y}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

Langkah 4.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $- 3 x^{2} + 2 y$ dan $3 x^{2} - 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 x^{2}$ .

$\frac{- (3 x^{2}) + 2 y}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

Langkah 4.3.4.2

Faktorkan $- 1$ dari $2 y$ .

$\frac{- (3 x^{2}) - (- 2 y)}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

Langkah 4.3.4.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 x^{2}) - (- 2 y)$ .

$\frac{- (3 x^{2} - 2 y)}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

Langkah 4.3.4.4

Tulis kembali $- (3 x^{2} - 2 y)$ sebagai $- 1 (3 x^{2} - 2 y)$ .

$\frac{- 1 (3 x^{2} - 2 y)}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

Langkah 4.3.4.5

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1 (3 x^{2} - 2 y)}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

Langkah 4.3.4.6

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{x}$

Langkah 4.3.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{x}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 5.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

Langkah 5.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Sederhanakan $- \ln (| x |)$ dengan memindahkan $- 1$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

Langkah 5.4.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

Langkah 5.4.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(2 x + 6 x^{2} y) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $2 x + 6 x^{2} y$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$(2 x + 6 x^{2} y) \frac{1}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Langkah 6.2

Kalikan $2 x + 6 x^{2} y$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 x + 6 x^{2} y}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Langkah 6.3

Faktorkan $2 x$ dari $2 x + 6 x^{2} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Faktorkan $2 x$ dari $2 x$ .

$\frac{2 x (1) + 6 x^{2} y}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Langkah 6.3.2

Faktorkan $2 x$ dari $6 x^{2} y$ .

$\frac{2 x (1) + 2 x (3 x y)}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Langkah 6.3.3

Faktorkan $2 x$ dari $2 x (1) + 2 x (3 x y)$ .

$\frac{2 x (1 + 3 x y)}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Langkah 6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x (1 + 3 x y)}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Langkah 6.4.2

Bagilah $2 (1 + 3 x y)$ dengan $1$ .

$2 (1 + 3 x y) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Langkah 6.5

Terapkan sifat distributif.

$(2 \cdot 1 + 2 (3 x y)) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Langkah 6.6

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$(2 + 2 (3 x y)) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Langkah 6.7

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$(2 + 6 x y) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Langkah 6.8

Kalikan $3 x^{3} - 2 x y$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$(2 + 6 x y) d x + (3 x^{3} - 2 x y) \frac{1}{x} d y = 0$

Langkah 6.9

Kalikan $3 x^{3} - 2 x y$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$(2 + 6 x y) d x + \frac{3 x^{3} - 2 x y}{x} d y = 0$

Langkah 6.10

Faktorkan $x$ dari $3 x^{3} - 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.10.1

Faktorkan $x$ dari $3 x^{3}$ .

$(2 + 6 x y) d x + \frac{x (3 x^{2}) - 2 x y}{x} d y = 0$

Langkah 6.10.2

Faktorkan $x$ dari $- 2 x y$ .

$(2 + 6 x y) d x + \frac{x (3 x^{2}) + x (- 2 y)}{x} d y = 0$

Langkah 6.10.3

Faktorkan $x$ dari $x (3 x^{2}) + x (- 2 y)$ .

$(2 + 6 x y) d x + \frac{x (3 x^{2} - 2 y)}{x} d y = 0$

Langkah 6.11

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.11.1

Batalkan faktor persekutuan.

$(2 + 6 x y) d x + \frac{x (3 x^{2} - 2 y)}{x} d y = 0$

Langkah 6.11.2

Bagilah $3 x^{2} - 2 y$ dengan $1$ .

$(2 + 6 x y) d x + (3 x^{2} - 2 y) d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 + 6 x y d x$

Langkah 8

Integralkan $M (x, y) = 2 + 6 x y$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int 2 d x + \int 6 x y d x$

Langkah 8.2

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = 2 x + C + \int 6 x y d x$

Langkah 8.3

Karena $6 y$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6 y$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 2 x + C + 6 y \int x d x$

Langkah 8.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x + C + 6 y (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 8.5

Sederhanakan.

$f (x, y) = 2 x + 6 \cdot \frac{1}{2} y x^{2} + C$

Langkah 8.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1

Gabungkan $6$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = 2 x + \frac{6}{2} y x^{2} + C$

Langkah 8.6.2

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$f (x, y) = 2 x + \frac{2 \cdot 3}{2} y x^{2} + C$

Langkah 8.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f (x, y) = 2 x + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} y x^{2} + C$

Langkah 8.6.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = 2 x + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} y x^{2} + C$

Langkah 8.6.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = 2 x + \frac{3}{1} y x^{2} + C$

Langkah 8.6.2.2.4

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$f (x, y) = 2 x + 3 y x^{2} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = 2 x + 3 y x^{2} + g (y)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} - 2 y$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [2 x + 3 y x^{2} + g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

Langkah 11.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 3 y x^{2} + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [3 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [3 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

Langkah 11.2.2

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [3 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [3 y x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $3 x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 y x^{2}$ terhadap $y$ adalah $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

Langkah 11.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

Langkah 11.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$0 + 3 x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 3 x^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} - 2 y$

Langkah 11.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Tambahkan $0$ dan $3 x^{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} - 2 y$

Langkah 11.5.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} = 3 x^{2} - 2 y$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Kurangkan $3 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} - 2 y - 3 x^{2}$

Langkah 12.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $3 x^{2} - 2 y - 3 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Kurangi $3 x^{2}$ dengan $3 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y + 0$

Langkah 12.1.2.2

Tambahkan $- 2 y$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y$

Langkah 13

Temukan $- 2 y$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = - 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y d y$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y d y$

Langkah 13.3

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$g (y) = - 2 \int y d y$

Langkah 13.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 13.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.1

Tulis kembali $- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ sebagai $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Langkah 13.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.2.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

Langkah 13.5.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C$

Langkah 13.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C$

Langkah 13.5.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Langkah 13.5.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{2} + C$

Langkah 13.5.2.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$g (y) = - y^{2} + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = 2 x + 3 y x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = 2 x + 3 y x^{2} - y^{2} + C$