Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = - 0.5 y$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- 0.5 y)$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - 0.5 \frac{1}{y} y$

Langkah 1.2.2

Gabungkan $- 0.5$ dan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 0.5}{y} y$

Langkah 1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $0.5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Faktorkan $0.5$ dari $- 0.5$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{0.5 (- 1)}{y} y$

Langkah 1.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{0.5 \cdot - 1}{y} y$

Langkah 1.2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{2}$

Langkah 1.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{2}$

Langkah 1.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{2}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{2} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{2} d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2} d x$

Langkah 2.3

Terapkan aturan konstanta.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} x + C}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2} x + C} = | y |$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y | = e^{- \frac{1}{2} x + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{1}{2} x + C}$

Langkah 3.3.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{2}$ .

$| y | = e^{- \frac{x}{2} + C}$

Langkah 3.3.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{x}{2} + C}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{- \frac{x}{2} + C}$ sebagai $e^{- \frac{x}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{x}{2}} e^{C}$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{- \frac{x}{2}}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{x}{2}}$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{- \frac{x}{2}}$