Kalkulus Contoh

$(y - x + x y \cot (x)) d x + x d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y - x + x y \cot (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y - x + x y \cot (x)]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y - x + x y \cot (x)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$

Langkah 1.2.3

Karena $- x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $x \cot (x)$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x y \cot (x)$ terhadap $y$ adalah $x \cot (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + x \cot (x) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + x \cot (x) \cdot 1$

Langkah 1.3.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + x \cot (x)$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + x \cot (x)$

Langkah 1.4.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cot (x) + 1$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $x \cot (x) + 1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $1$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x \cot (x) + 1 = 1$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$x \cot (x) + 1 = 1$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $x \cot (x) + 1$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x \cot (x) + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 4.2

Substitusikan $1$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x \cot (x) + 1 - 1}{N}$

Langkah 4.3

Substitusikan $x$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $x$ untuk $N$ .

$\frac{x \cot (x) + 1 - 1}{x}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{x \cot (x) + 0}{x}$

Langkah 4.3.2.2

Tambahkan $x \cot (x)$ dan $0$ .

$\frac{x \cot (x)}{x}$

Langkah 4.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \cot (x)}{x}$

Langkah 4.3.3.2

Bagilah $\cot (x)$ dengan $1$ .

$\cot (x)$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \cot (x) d x}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int \cot (x) d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Integral dari $\cot (x)$ terhadap $x$ adalah $\ln (| \sin (x) |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

Langkah 5.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{\ln (| \sin (x) |)} + C$

Langkah 5.2.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = | \sin (x) | + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(y - x + x y \cot (x)) d x + x d y = 0$ dengan faktor integral $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $y - x + x y \cot (x)$ dengan $\sin (x)$ .

$(y - x + x y \cot (x)) \sin (x) d x + x d y = 0$

Langkah 6.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis kembali $\cot (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$(y - x + x y \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

Langkah 6.2.2

Kalikan $x y \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$(y - x + y \frac{x \cos (x)}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

Langkah 6.2.2.2

Gabungkan $y$ dan $\frac{x \cos (x)}{\sin (x)}$ .

$(y - x + \frac{y (x \cos (x))}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

$(y - x + \frac{y x \cos (x)}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

Langkah 6.3

Terapkan sifat distributif.

$(y \sin (x) - x \sin (x) + \frac{y x \cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) d x + x d y = 0$

Langkah 6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$(y \sin (x) - x \sin (x) + \frac{y x \cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) d x + x d y = 0$

Langkah 6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$(y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)) d x + x d y = 0$

Langkah 6.5

Kalikan $x$ dengan $\sin (x)$ .

$(y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)) d x + x \sin (x) d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \sin (x) d y$

Langkah 8

Integralkan $N (x, y) = x \sin (x)$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = x \sin (x) y + C$

Langkah 9

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y + g (x)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (x) y + g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x \sin (x) y + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x \sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x \sin (x) y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x \sin (x) y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Langkah 11.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

$y (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Langkah 11.3.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Langkah 11.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Langkah 11.3.5

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Langkah 11.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Terapkan sifat distributif.

$y (x \cos (x)) + y \sin (x) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Langkah 11.5.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + x y \cos (x) + y \sin (x) = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Kurangkan $x y \cos (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} + y \sin (x) = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x) - x y \cos (x)$

Langkah 12.1.2

Kurangkan $y \sin (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$

Langkah 12.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.3.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $y x \cos (x)$ dan $- x y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$

Langkah 12.1.3.2

Kurangi $x y \cos (x)$ dengan $x y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + 0 - y \sin (x)$

Langkah 12.1.3.3

Tambahkan $y \sin (x) - x \sin (x)$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) - y \sin (x)$

Langkah 12.1.3.4

Kurangi $y \sin (x)$ dengan $y \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x) + 0$

Langkah 12.1.3.5

Tambahkan $- x \sin (x)$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x)$

Langkah 13

Temukan $- x \sin (x)$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = - x \sin (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x \sin (x) d x$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x \sin (x) d x$

Langkah 13.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (x) = - \int x \sin (x) d x$

Langkah 13.4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \sin (x)$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x)$

Langkah 13.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (x) = - (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x)$

Langkah 13.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x)$

Langkah 13.6.2

Kalikan $\int \cos (x) d x$ dengan $1$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x)$

Langkah 13.7

Integral dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\sin (x)$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C)$

Langkah 13.8

Tulis kembali $- (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C)$ sebagai $- (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$ .

$g (x) = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = x \sin (x) y + g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$

Langkah 15

Sederhanakan $f (x, y) = x \sin (x) y - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = x \sin (x) y - (- x \cos (x)) - \sin (x) + C$

Langkah 15.1.2

Kalikan $- (- x \cos (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y + 1 (x \cos (x)) - \sin (x) + C$

Langkah 15.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y + x \cos (x) - \sin (x) + C$

Langkah 15.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = x \sin (x) y + x \cos (x) - \sin (x) + C$ .

$f (x, y) = x y \sin (x) + x \cos (x) - \sin (x) + C$