Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + 20 y = 24$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = 20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int 20 d x}$

Langkah 1.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{20 x + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{20 x}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{20 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{20 x}$ .

$e^{20 x} \frac{d y}{d x} + e^{20 x} (20 y) = e^{20 x} \cdot 24$

Langkah 2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{20 x} \frac{d y}{d x} + 20 e^{20 x} y = e^{20 x} \cdot 24$

Langkah 2.3

Pindahkan $24$ ke sebelah kiri $e^{20 x}$ .

$e^{20 x} \frac{d y}{d x} + 20 e^{20 x} y = 24 \cdot e^{20 x}$

Langkah 2.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{20 x} \frac{d y}{d x} + 20 e^{20 x} y = 24 e^{20 x}$ .

$e^{20 x} \frac{d y}{d x} + 20 y e^{20 x} = 24 e^{20 x}$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{20 x} y] = 24 e^{20 x}$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{20 x} y] d x = \int 24 e^{20 x} d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$e^{20 x} y = \int 24 e^{20 x} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $24$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $24$ keluar dari integral.

$e^{20 x} y = 24 \int e^{20 x} d x$

Langkah 6.2

Biarkan $u = 20 x$ . Kemudian $d u = 20 d x$ sehingga $\frac{1}{20} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Biarkan $u = 20 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Diferensialkan $20 x$ .

$\frac{d}{d x} [20 x]$

Langkah 6.2.1.2

Karena $20$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $20 x$ terhadap $x$ adalah $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$20 \cdot 1$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $20$ dengan $1$ .

$20$

Langkah 6.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{20 x} y = 24 \int e^{u} \frac{1}{20} d u$

Langkah 6.3

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{20}$ .

$e^{20 x} y = 24 \int \frac{e^{u}}{20} d u$

Langkah 6.4

Karena $\frac{1}{20}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{20}$ keluar dari integral.

$e^{20 x} y = 24 (\frac{1}{20} \int e^{u} d u)$

Langkah 6.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Gabungkan $\frac{1}{20}$ dan $24$ .

$e^{20 x} y = \frac{24}{20} \int e^{u} d u$

Langkah 6.5.2

Hapus faktor persekutuan dari $24$ dan $20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.1

Faktorkan $4$ dari $24$ .

$e^{20 x} y = \frac{4 (6)}{20} \int e^{u} d u$

Langkah 6.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $20$ .

$e^{20 x} y = \frac{4 \cdot 6}{4 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Langkah 6.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{20 x} y = \frac{4 \cdot 6}{4 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Langkah 6.5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{20 x} y = \frac{6}{5} \int e^{u} d u$

Langkah 6.6

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{20 x} y = \frac{6}{5} (e^{u} + C)$

Langkah 6.7

Sederhanakan.

$e^{20 x} y = \frac{6}{5} e^{u} + C$

Langkah 6.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $20 x$ .

$e^{20 x} y = \frac{6}{5} e^{20 x} + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $e^{20 x} y = \frac{6}{5} e^{20 x} + C$ dengan $e^{20 x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $e^{20 x} y = \frac{6}{5} e^{20 x} + C$ dengan $e^{20 x}$ .

$\frac{e^{20 x} y}{e^{20 x}} = \frac{\frac{6}{5} e^{20 x}}{e^{20 x}} + \frac{C}{e^{20 x}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{20 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{20 x} y}{e^{20 x}} = \frac{\frac{6}{5} e^{20 x}}{e^{20 x}} + \frac{C}{e^{20 x}}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{6}{5} e^{20 x}}{e^{20 x}} + \frac{C}{e^{20 x}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{20 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\frac{6}{5} e^{20 x}}{e^{20 x}} + \frac{C}{e^{20 x}}$

Langkah 7.3.1.2

Bagilah $\frac{6}{5}$ dengan $1$ .

$y = \frac{6}{5} + \frac{C}{e^{20 x}}$