Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \cos (4 x) - 2 x$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (\cos (4 x) - 2 x) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int \cos (4 x) - 2 x d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int \cos (4 x) - 2 x d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = \int \cos (4 x) d x + \int - 2 x d x$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u = 4 x$ . Kemudian $d u = 4 d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u = 4 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 2.3.2.1.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Langkah 2.3.2.1.4

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} = \int \cos (u) \frac{1}{4} d u + \int - 2 x d x$

Langkah 2.3.3

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\cos (u)}{4} d u + \int - 2 x d x$

Langkah 2.3.4

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \cos (u) d u + \int - 2 x d x$

Langkah 2.3.5

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u) + C_{2}) + \int - 2 x d x$

Langkah 2.3.6

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u) + C_{2}) - 2 \int x d x$

Langkah 2.3.7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u) + C_{2}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Langkah 2.3.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.1

Sederhanakan.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.2.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{- 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.8.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.8.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.8.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.8.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) + \frac{- 1}{1} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.8.2.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u) - x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.9

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (4 x) - x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.10

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{1} = - x^{2} + \frac{1}{4} \sin (4 x) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = - x^{2} + \frac{1}{4} \sin (4 x) + K$