Kalkulus Contoh

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \ln (x)$ , $y (1) = 2$

Langkah 1

Periksa apakah sisi kiri persamaan merupakan turunan dari suku $x^{2} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Langkah 1.4

Substitusikan $\frac{d y}{d x}$ untuk $y'$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Langkah 1.5

Hilangkan tanda kurung.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Langkah 1.6

Pindahkan $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Langkah 2

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \ln (x)$

Langkah 3

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \ln (x) d x$

Langkah 4

Integralkan sisi kiri.

$x^{2} y = \int \ln (x) d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln (x)$ dan $d v = 1$ .

$x^{2} y = \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Langkah 5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Langkah 5.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} y = \ln (x) x - \int d x$

Langkah 5.3

Terapkan aturan konstanta.

$x^{2} y = \ln (x) x - (x + C)$

Langkah 5.4

Sederhanakan.

$x^{2} y = \ln (x) x - x + C$

Langkah 6

Bagi setiap suku pada $x^{2} y = \ln (x) x - x + C$ dengan $x^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagilah setiap suku di $x^{2} y = \ln (x) x - x + C$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 6.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.1

Faktorkan $x$ dari $\ln (x) x$ .

$y = \frac{x \ln (x)}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 6.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$y = \frac{x \ln (x)}{x \cdot x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 6.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{x \ln (x)}{x \cdot x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 6.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 6.3.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $- x$ .

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 6.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 6.3.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 6.3.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{- 1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 6.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 7

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $x$ dan $2$ untuk $y$ padda $y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$ .

$2 = \frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}}$

Langkah 8

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$ .

$\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Langkah 8.2

Sederhanakan $\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\ln (1) - 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Langkah 8.2.2

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$\frac{0 - 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Langkah 8.2.3

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$\frac{- 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Langkah 8.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.4.1

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- 1 + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Langkah 8.2.4.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- 1 + \frac{C}{1} = 2$

Langkah 8.2.4.3

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$- 1 + C = 2$

Langkah 8.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $C$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$C = 2 + 1$

Langkah 8.3.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$C = 3$

Langkah 9

Substitusikan $3$ untuk $C$ dalam $y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Substitusikan $3$ untuk $C$ .

$y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}$