Kalkulus Contoh

$x \cos^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x \cos^{2} (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x \cos^{2} (y)]$

Langkah 1.2

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x \cos^{2} (y)$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{2}$ dan $g (y) = \cos (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 u \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

Langkah 1.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

Langkah 1.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot x \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)]$

Langkah 1.5

Turunan dari $\cos (y)$ terhadap $y$ adalah $- \sin (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cos (y) (- \sin (y))$

Langkah 1.6

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x \cos (y) \sin (y)$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = \tan (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\tan (y)]$

Langkah 2.2

Karena $\tan (y)$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\tan (y)$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $- 2 x \cos (y) \sin (y)$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $0$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x \cos (y) \sin (y) = 0$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$- 2 x \cos (y) \sin (y) = 0$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $0$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 4.2

Substitusikan $- 2 x \cos (y) \sin (y)$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (- 2 x \cos (y) \sin (y))}{M}$

Langkah 4.3

Substitusikan $x \cos^{2} (y)$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $x \cos^{2} (y)$ untuk $M$ .

$\frac{0 - (- 2 x \cos (y) \sin (y))}{x \cos^{2} (y)}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{0 + 2 (x \cos (y) \sin (y))}{x \cos^{2} (y)}$

Langkah 4.3.2.2

Susun kembali $2$ dan $x \cos (y) \sin (y)$ .

$\frac{0 + x \cos (y) \sin (y) \cdot 2}{x \cos^{2} (y)}$

Langkah 4.3.2.3

Tambahkan tanda kurung.

$\frac{0 + x \cos (y) (\sin (y) \cdot 2)}{x \cos^{2} (y)}$

Langkah 4.3.2.4

Tambahkan tanda kurung.

$\frac{0 + x (\cos (y) (\sin (y) \cdot 2))}{x \cos^{2} (y)}$

Langkah 4.3.2.5

Susun kembali $\cos (y)$ dan $\sin (y) \cdot 2$ .

$\frac{0 + x (\sin (y) \cdot 2 \cos (y))}{x \cos^{2} (y)}$

Langkah 4.3.2.6

Susun kembali $\sin (y)$ dan $2$ .

$\frac{0 + x (2 \cdot \sin (y) \cos (y))}{x \cos^{2} (y)}$

Langkah 4.3.2.7

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$\frac{0 + x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

Langkah 4.3.2.8

Tambahkan $0$ dan $x \sin (2 y)$ .

$\frac{x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

Langkah 4.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

Langkah 4.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sin (2 y)}{\cos^{2} (y)}$

Langkah 4.3.4

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$\frac{2 \sin (y) \cos (y)}{\cos^{2} (y)}$

Langkah 4.3.5

Hapus faktor persekutuan dari $\cos (y)$ dan $\cos^{2} (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Faktorkan $\cos (y)$ dari $2 \sin (y) \cos (y)$ .

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos^{2} (y)}$

Langkah 4.3.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.2.1

Faktorkan $\cos (y)$ dari $\cos^{2} (y)$ .

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos (y) \cos (y)}$

Langkah 4.3.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos (y) \cos (y)}$

Langkah 4.3.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 \sin (y)}{\cos (y)}$

Langkah 4.3.6

Pisahkan pecahan.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$

Langkah 4.3.7

Konversikan dari $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ ke $\tan (y)$ .

$\frac{2}{1} \tan (y)$

Langkah 4.3.8

Substitusikan $x \cos^{2} (y)$ untuk $M$ .

$2 \tan (y)$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 \tan (y) d y}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int 2 \tan (y) d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \tan (y) d y}$

Langkah 5.2

Integral dari $\tan (y)$ terhadap $y$ adalah $\ln (| \sec (y) |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| \sec (y) |) + C)}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| \sec (y) |)} + C$

Langkah 5.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Sederhanakan $2 \ln (| \sec (y) |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (y) |}^{2})} + C$

Langkah 5.4.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| \sec (y) |}^{2} + C$

Langkah 5.4.3

Hapus nilai mutlak dalam ${| \sec (y) |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$μ (x, y) = \sec^{2} (y) + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $x \cos^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$ dengan faktor integral $\sec^{2} (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $x \cos^{2} (y)$ dengan $\sec^{2} (y)$ .

$x \cos^{2} (y) \sec^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$

Langkah 6.2

Tulis kembali $\sec (y)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$x \cos^{2} (y) {(\frac{1}{\cos (y)})}^{2} d x + \tan (y) d y = 0$

Langkah 6.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$x \cos^{2} (y) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

Langkah 6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos^{2} (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Faktorkan $\cos^{2} (y)$ dari $x \cos^{2} (y)$ .

$\cos^{2} (y) x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

Langkah 6.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\cos^{2} (y) x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

Langkah 6.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x \cdot 1^{2} d x + \tan (y) d y = 0$

Langkah 6.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$x \cdot 1 d x + \tan (y) d y = 0$

Langkah 6.6

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x d x + \tan (y) d y = 0$

Langkah 6.7

Kalikan $\tan (y)$ dengan $\sec^{2} (y)$ .

$x d x + \tan (y) \sec^{2} (y) d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x d x$

Langkah 8

Integralkan $M (x, y) = x$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Langkah 11.3

Karena $\frac{1}{2} x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{1}{2} x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Langkah 11.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Langkah 12

Temukan $\tan (y) \sec^{2} (y)$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \tan (y) \sec^{2} (y) d y$

Langkah 12.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \tan (y) \sec^{2} (y) d y$

Langkah 12.3

Biarkan $u = \sec (y)$ . Kemudian $d u = \sec (y) \tan (y) d y$ sehingga $\frac{1}{\sec (y) \tan (y)} d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Biarkan $u = \sec (y)$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1.1

Diferensialkan $\sec (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\sec (y)]$

Langkah 12.3.1.2

Turunan dari $\sec (y)$ terhadap $y$ adalah $\sec (y) \tan (y)$ .

$\sec (y) \tan (y)$

Langkah 12.3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$g (y) = \int u d u$

Langkah 12.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} u^{2} + C$

Langkah 12.5

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sec (y)$ .

$g (y) = \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

Langkah 13

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

Langkah 14

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

Langkah 14.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sec^{2} (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{\sec^{2} (y)}{2} + C$