Kalkulus Contoh

$(1 + \ln (x)) d x + (1 + \ln (y)) d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $(1 + \ln (x)) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$(1 + \ln (y)) d y = - (1 + \ln (x)) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int 1 + \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int d y + \int \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Langkah 2.2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} + \int \ln (y) d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Langkah 2.2.3

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln (y)$ dan $d v = 1$ .

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int y \frac{1}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Gabungkan $y$ dan $\frac{1}{y}$ .

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int \frac{y}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Langkah 2.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int \frac{y}{y} d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Langkah 2.2.4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{1} + \ln (y) y - \int d y = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Langkah 2.2.5

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} + \ln (y) y - (y + C_{2}) = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.1

Sederhanakan.

$y + \ln (y) y - y + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Langkah 2.2.6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.2.1

Kurangi $y$ dengan $y$ .

$\ln (y) y + 0 + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Langkah 2.2.6.2.2

Tambahkan $\ln (y) y$ dan $0$ .

$\ln (y) y + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Langkah 2.2.7

Susun kembali suku-suku.

$y \ln (y) + C_{3} = \int - (1 + \ln (x)) d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y \ln (y) + C_{3} = - \int 1 + \ln (x) d x$

Langkah 2.3.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y \ln (y) + C_{3} = - (\int d x + \int \ln (x) d x)$

Langkah 2.3.3

Terapkan aturan konstanta.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int \ln (x) d x)$

Langkah 2.3.4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln (x)$ dan $d v = 1$ .

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Langkah 2.3.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Langkah 2.3.5.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - \int d x)$

Langkah 2.3.6

Terapkan aturan konstanta.

$y \ln (y) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (x) x - (x + C_{5}))$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

$y \ln (y) + C_{3} = - \ln (x) x + C_{6}$

Langkah 2.3.8

Susun kembali suku-suku.

$y \ln (y) + C_{3} = - x \ln (x) + C_{6}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y \ln (y) = - x \ln (x) + K$