Kalkulus Contoh

$y^{2} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x y + y^{2} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y + y^{2} - 1]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y + y^{2} - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.4.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0 + 0$

Langkah 2.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tambahkan $y$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $y$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $2 y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $y$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = y$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$2 y = y$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $y$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 4.2

Substitusikan $2 y$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{y - (2 y)}{M}$

Langkah 4.3

Substitusikan $y^{2}$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $y^{2}$ untuk $M$ .

$\frac{y - (2 y)}{y^{2}}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $y - 1 \cdot 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{y^{1} - 1 \cdot 2 y}{y^{2}}$

Langkah 4.3.2.1.2

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$\frac{y \cdot 1 - 1 \cdot 2 y}{y^{2}}$

Langkah 4.3.2.1.3

Faktorkan $y$ dari $- 1 \cdot 2 y$ .

$\frac{y \cdot 1 + y (- 1 \cdot 2)}{y^{2}}$

Langkah 4.3.2.1.4

Faktorkan $y$ dari $y \cdot 1 + y (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y (1 - 1 \cdot 2)}{y^{2}}$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{y (1 - 2)}{y^{2}}$

Langkah 4.3.2.3

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{y \cdot - 1}{y^{2}}$

Langkah 4.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $y$ dan $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Faktorkan $y$ dari $y \cdot - 1$ .

$\frac{y (- 1)}{y^{2}}$

Langkah 4.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$\frac{y (- 1)}{y \cdot y}$

Langkah 4.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \cdot - 1}{y \cdot y}$

Langkah 4.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{y}$

Langkah 4.3.4

Substitusikan $y^{2}$ untuk $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 5.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Langkah 5.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Sederhanakan $- \ln (| y |)$ dengan memindahkan $- 1$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Langkah 5.4.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Langkah 5.4.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $y^{2} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $y^{2}$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$y^{2} \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Langkah 6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$y \cdot y \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Langkah 6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y \cdot y \frac{1}{y} d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Langkah 6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y d x + (x y + y^{2} - 1) d y = 0$

Langkah 6.3

Kalikan $x y + y^{2} - 1$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$y d x + (x y + y^{2} - 1) \frac{1}{y} d y = 0$

Langkah 6.4

Kalikan $x y + y^{2} - 1$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$y d x + \frac{x y + y^{2} - 1}{y} d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d x$

Langkah 8

Integralkan $M (x, y) = y$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = y x + C$

Langkah 9

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = y x + g (y)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y x + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y x$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Langkah 11.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Langkah 11.3.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Langkah 11.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + x = \frac{x y + y^{2} - 1}{y}$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = \frac{x y + y^{2} - 1}{y} - x$

Langkah 12.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Pisahkan pecahan $\frac{x y + y^{2} - 1}{y}$ menjadi dua pecahan.

$\frac{d g}{d y} = \frac{x y + y^{2}}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Langkah 12.1.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.2.1

Faktorkan $y$ dari $x y + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.2.1.1

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y x + y^{2}}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Langkah 12.1.2.2.1.2

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y x + y \cdot y}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Langkah 12.1.2.2.1.3

Faktorkan $y$ dari $y x + y \cdot y$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y (x + y)}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Langkah 12.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y (x + y)}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Langkah 12.1.2.2.2.2

Bagilah $x + y$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d y} = x + y + \frac{- 1}{y} - x$

Langkah 12.1.2.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d g}{d y} = x + y - \frac{1}{y} - x$

Langkah 12.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $x + y - \frac{1}{y} - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.3.1

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$\frac{d g}{d y} = y - \frac{1}{y} + 0$

Langkah 12.1.3.2

Tambahkan $y - \frac{1}{y}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y - \frac{1}{y}$

Langkah 13

Temukan $y - \frac{1}{y}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = y - \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y - \frac{1}{y} d y$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y - \frac{1}{y} d y$

Langkah 13.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$g (y) = \int y d y + \int - \frac{1}{y} d y$

Langkah 13.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - \frac{1}{y} d y$

Langkah 13.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - \int \frac{1}{y} d y$

Langkah 13.6

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - (\ln (| y |) + C)$

Langkah 13.7

Sederhanakan.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = y x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x + \frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C$

Langkah 15

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = y x + \frac{y^{2}}{2} - \ln (| y |) + C$