Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \sin (5 x + π)$ , $y (0) = 6$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = \sin (5 x + π) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int \sin (5 x + π) d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int \sin (5 x + π) d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u = 5 x + π$ . Kemudian $d u = 5 d x$ sehingga $\frac{1}{5} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u = 5 x + π$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $5 x + π$ .

$\frac{d}{d x} [5 x + π]$

Langkah 2.3.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 x + π$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [π]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Langkah 2.3.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.3.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π]$

Langkah 2.3.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π]$

Langkah 2.3.1.1.3.3

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [π]$

Langkah 2.3.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.4.1

Karena $π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $π$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$5 + 0$

Langkah 2.3.1.1.4.2

Tambahkan $5$ dan $0$ .

$5$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} = \int \sin (u) \frac{1}{5} d u$

Langkah 2.3.2

Gabungkan $\sin (u)$ dan $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sin (u)}{5} d u$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{1}{5}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{5}$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int \sin (u) d u$

Langkah 2.3.4

Integral dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $- \cos (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} (- \cos (u) + C_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Sederhanakan.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} (- \cos (u)) + C_{2}$

Langkah 2.3.5.2

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $\cos (u)$ .

$y + C_{1} = - \frac{\cos (u)}{5} + C_{2}$

Langkah 2.3.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $5 x + π$ .

$y + C_{1} = - \frac{\cos (5 x + π)}{5} + C_{2}$

Langkah 2.3.7

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{1} = - \frac{1}{5} \cos (5 x + π) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = - \frac{1}{5} \cos (5 x + π) + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $6$ untuk $y$ padda $y = - \frac{1}{5} \cos (5 x + π) + K$ .

$6 = - \frac{1}{5} \cos (5 \cdot 0 + π) + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- \frac{1}{5} \cdot \cos (5 \cdot 0 + π) + K = 6$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \cos (5 \cdot 0 + π) + K = 6$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \cos (0 + π) + K = 6$

Langkah 4.2.1.2

Tambahkan $0$ dan $π$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \cos (π) + K = 6$

Langkah 4.2.1.3

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$- \frac{1}{5} \cdot (- \cos (0)) + K = 6$

Langkah 4.2.1.4

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- \frac{1}{5} \cdot (- 1 \cdot 1) + K = 6$

Langkah 4.2.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{5} \cdot - 1 + K = 6$

Langkah 4.2.1.6

Kalikan $- \frac{1}{5} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (\frac{1}{5}) + K = 6$

Langkah 4.2.1.6.2

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{5} + K = 6$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kurangkan $\frac{1}{5}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = 6 - \frac{1}{5}$

Langkah 4.3.2

Untuk menuliskan $6$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$K = 6 \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5}$

Langkah 4.3.3

Gabungkan $6$ dan $\frac{5}{5}$ .

$K = \frac{6 \cdot 5}{5} - \frac{1}{5}$

Langkah 4.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$K = \frac{6 \cdot 5 - 1}{5}$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Kalikan $6$ dengan $5$ .

$K = \frac{30 - 1}{5}$

Langkah 4.3.5.2

Kurangi $1$ dengan $30$ .

$K = \frac{29}{5}$

Langkah 5

Substitusikan $\frac{29}{5}$ untuk $K$ dalam $y = - \frac{1}{5} \cos (5 x + π) + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $\frac{29}{5}$ untuk $K$ .

$y = - \frac{1}{5} \cos (5 x + π) + \frac{29}{5}$

Langkah 5.2

Gabungkan $\cos (5 x + π)$ dan $\frac{1}{5}$ .

$y = - \frac{\cos (5 x + π)}{5} + \frac{29}{5}$