Kalkulus Contoh

$(x - 2 y) d x - (2 x + y) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x - 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 2 y]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 2 y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Langkah 1.2.2

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2 y$ terhadap $y$ adalah $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1$

Langkah 1.3.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2$

Langkah 1.4

Kurangi $2$ dengan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = - (2 x + y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (2 x + y)]$

Langkah 2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- (2 x + y)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [2 x + y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.6

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 + \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.7

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 + 0)$

Langkah 2.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 2$

Langkah 2.8.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $- 2$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- 2$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 = - 2$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$- 2 = - 2$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (2 x + y) d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = - (2 x + y)$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$f (x, y) = - \int 2 x + y d y$

Langkah 5.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = - (\int 2 x d y + \int y d y)$

Langkah 5.3

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = - (2 x y + C + \int y d y)$

Langkah 5.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (2 x y + C + \frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 5.5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (2 x y + C + \frac{y^{2}}{2} + C)$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

$f (x, y) = - (2 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = - (2 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x - 2 y$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)] = x - 2 y$

Langkah 8.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Penjumlahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 x y + \frac{y^{2}}{2}) + g (x)] = x - 2 y$

Langkah 8.2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- (2 x y + \frac{y^{2}}{2}) + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- (2 x y + \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (2 x y + \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- (2 x y + \frac{y^{2}}{2})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- (2 x y + \frac{y^{2}}{2})$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [2 x y + \frac{y^{2}}{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [2 x y + \frac{y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Langkah 8.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x y + \frac{y^{2}}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}]$ .

$- (\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Langkah 8.3.3

Karena $2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $x$ adalah $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Langkah 8.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- (2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Langkah 8.3.5

Karena $\frac{y^{2}}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{y^{2}}{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- (2 y \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Langkah 8.3.6

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- (2 y + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Langkah 8.3.7

Tambahkan $2 y$ dan $0$ .

$- (2 y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Langkah 8.3.8

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - 2 y$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$- 2 y + \frac{d g}{d x} = x - 2 y$

Langkah 8.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} - 2 y = x - 2 y$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Tambahkan $2 y$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} = x - 2 y + 2 y$

Langkah 9.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $x - 2 y + 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Tambahkan $- 2 y$ dan $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Langkah 9.1.2.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Langkah 10

Temukan $x$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Langkah 10.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = - (2 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (2 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 12

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (2 x y + \frac{y^{2}}{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 12.2

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = - (2 x y) - \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 12.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f (x, y) = - 2 (x y) - \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 12.4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = - 2 x y - \frac{y^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$