Kalkulus Contoh

$(x + 3 y) d x - x d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x + 3 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 3 y]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 3 y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 y]$

Langkah 1.2.2

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [3 y]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 y$ terhadap $y$ adalah $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \cdot 1$

Langkah 1.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3$

Langkah 1.4

Tambahkan $0$ dan $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

Langkah 2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $3$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- 1$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 = - 1$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$3 = - 1$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $3$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 4.2

Substitusikan $- 1$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 + 1}{N}$

Langkah 4.3

Substitusikan $- x$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $- x$ untuk $N$ .

$\frac{3 + 1}{- x}$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$\frac{4}{- x}$

Langkah 4.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{4}{x}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Langkah 5.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Langkah 5.3

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 5.4

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Sederhanakan $- 4 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $- 4$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

Langkah 5.6.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

Langkah 5.6.3

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{- 4}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

Langkah 5.6.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(x + 3 y) d x - x d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{x^{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $x + 3 y$ dengan $\frac{1}{x^{4}}$ .

$(x + 3 y) \frac{1}{x^{4}} d x - x d y = 0$

Langkah 6.2

Kalikan $x + 3 y$ dengan $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x - x d y = 0$

Langkah 6.3

Kalikan $- x$ dengan $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x - x \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Langkah 6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Faktorkan $x$ dari $- x$ .

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Langkah 6.4.2

Faktorkan $x$ dari $x^{4}$ .

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Langkah 6.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Langkah 6.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x + 3 y}{x^{4}} d x - \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{1}{x^{3}} d y$

Langkah 8

Integralkan $N (x, y) = - \frac{1}{x^{3}}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} y + C$

Langkah 8.2

Gabungkan $y$ dan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x^{3}} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x^{3}} + g (x)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{3}} + g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{y}{x^{3}} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x^{3}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $- y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{y}{x^{3}}$ terhadap $x$ adalah $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 11.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{3}}$ sebagai ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- y \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 11.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{3}$ .

$- y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 11.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$- y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 11.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{3}$ .

$- y (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 11.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$- y (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 11.3.5

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- y (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 11.3.5.2

Kalikan $3$ dengan $- 2$ .

$- y (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 11.3.6

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- y (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 11.3.7

Kalikan $x^{- 6}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.7.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$- y (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 11.3.7.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- y (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 11.3.7.3

Kurangi $6$ dengan $2$ .

$- y (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 11.3.8

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$3 y x^{- 4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$3 y x^{- 4} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 11.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 y \frac{1}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 11.5.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.2.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{x^{4}}$ .

$y \frac{3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 11.5.2.2

Gabungkan $y$ dan $\frac{3}{x^{4}}$ .

$\frac{y \cdot 3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 11.5.2.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $y$ .

$\frac{3 y}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 11.5.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{x + 3 y}{x^{4}}$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.1

Kurangkan $\frac{x + 3 y}{x^{4}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y}{x^{4}} - \frac{x + 3 y}{x^{4}} = 0$

Langkah 12.1.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y - (x + 3 y)}{x^{4}} = 0$

Langkah 12.1.1.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y - x - (3 y)}{x^{4}} = 0$

Langkah 12.1.1.3.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{3 y - x - 3 y}{x^{4}} = 0$

Langkah 12.1.1.4

Gabungkan suku balikan dalam $3 y - x - 3 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.4.1

Kurangi $3 y$ dengan $3 y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x + 0}{x^{4}} = 0$

Langkah 12.1.1.4.2

Tambahkan $- x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x}{x^{4}} = 0$

Langkah 12.1.1.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.5.1

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.5.1.1

Faktorkan $x$ dari $- x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x^{4}} = 0$

Langkah 12.1.1.5.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.5.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{4}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x^{3}} = 0$

Langkah 12.1.1.5.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x^{3}} = 0$

Langkah 12.1.1.5.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{3}} = 0$

Langkah 12.1.1.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x^{3}} = 0$

Langkah 12.1.2

Tambahkan $\frac{1}{x^{3}}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$

Langkah 13

Temukan $\frac{1}{x^{3}}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Langkah 13.3

Pindahkan $x^{3}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$g (x) = \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Langkah 13.4

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Langkah 13.4.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$g (x) = \int x^{- 3} d x$

Langkah 13.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

Langkah 13.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.6.1

Tulis kembali $- \frac{1}{2} x^{- 2} + C$ sebagai $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C$

Langkah 13.6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.6.2.1

Kalikan $\frac{1}{x^{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C$

Langkah 13.6.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2 \cdot x^{2}} + C$

Langkah 13.6.2.3

Kalikan $2$ dengan $x^{2}$ .

$g (x) = - \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = - \frac{y}{x^{3}} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x^{3}} - \frac{1}{2 x^{2}} + C$