Kalkulus Contoh

$x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ given the initial condition that $x (0) = 1$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku pada $x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ dengan $x e^{- t}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Bagilah setiap suku di $x e^{- t} \frac{d x}{d t} = t$ dengan $x e^{- t}$ .

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x e^{- t} \frac{d x}{d t}}{x e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Langkah 1.1.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Langkah 1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{- t} \frac{d x}{d t}}{e^{- t}} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Langkah 1.1.2.2.2

Bagilah $\frac{d x}{d t}$ dengan $1$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{x e^{- t}}$

Langkah 1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x}$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x (\frac{t}{e^{- t}} \cdot \frac{1}{x})$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Gabungkan.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{e^{- t} x}$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Faktorkan $x$ dari $e^{- t} x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

Langkah 1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{t \cdot 1}{x e^{- t}}$

Langkah 1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t \cdot 1}{e^{- t}}$

Langkah 1.4.3

Kalikan $t$ dengan $1$ .

$x \frac{d x}{d t} = \frac{t}{e^{- t}}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$x d x = \frac{t}{e^{- t}} d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int x d x = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{t}{e^{- t}} d t$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tiadakan eksponen dari $e^{- t}$ dan pindahkan dari penyebut.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t {(e^{- t})}^{- 1} d t$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(e^{- t})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{- t \cdot - 1} d t$

Langkah 2.3.1.2.2

Kalikan $- t \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{1 t} d t$

Langkah 2.3.1.2.2.2

Kalikan $t$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t e^{t} d t$

Langkah 2.3.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = t$ dan $d v = e^{t}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - \int e^{t} d t$

Langkah 2.3.3

Integral dari $e^{t}$ terhadap $t$ adalah $e^{t}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - (e^{t} + C_{2})$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = t e^{t} - e^{t} + C_{2}$

Langkah 2.3.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = e^{t} t - e^{t} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} x^{2} = e^{t} t - e^{t} + K$

Langkah 3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} x^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} = 2 (e^{t} t - e^{t} + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (e^{t} t - e^{t} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} = 2 (e^{t} t) + 2 (- e^{t}) + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$x^{2} = 2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 e^{t} t - 2 e^{t} + 2 K$ .

$x^{2} = 2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K}$

Langkah 3.4

Faktorkan $2$ dari $2 t e^{t} - 2 e^{t} + 2 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan $2$ dari $2 t e^{t}$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) - 2 e^{t} + 2 K}$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 e^{t}$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

Langkah 3.4.3

Faktorkan $2$ dari $2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t}) + 2 K}$

Langkah 3.4.4

Faktorkan $2$ dari $2 (t e^{t}) + 2 (- e^{t})$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K}$

Langkah 3.4.5

Faktorkan $2$ dari $2 (t e^{t} - e^{t}) + 2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Langkah 3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Langkah 3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Langkah 3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

$x = - \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$

Langkah 4

Karena $x$ positif pada sarat awal $(0, 1)$ , hanya pertimbangkan $x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$ untuk menentukan $K$ . Substitusikan $0$ untuk $t$ dan $1$ untuk $x$ .

$1 = \sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}$

Langkah 5

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)} = 1$ .

$\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)} = 1$

Langkah 5.2

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}}^{2} = 1^{2}$

Langkah 5.3

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2 (0 e^{0} - e^{0} + K)}$ sebagai ${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Sederhanakan ${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Langkah 5.3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Langkah 5.3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(2 (0 e^{0} - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

Langkah 5.3.2.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.2.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

${(2 (0 \cdot 1 - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

Langkah 5.3.2.1.2.2

Kalikan $0$ dengan $1$ .

${(2 (0 - e^{0} + K))}^{1} = 1^{2}$

Langkah 5.3.2.1.2.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

${(2 (0 - 1 \cdot 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

Langkah 5.3.2.1.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

${(2 (0 - 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

Langkah 5.3.2.1.3

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.3.1

Kurangi $1$ dengan $0$ .

${(2 (- 1 + K))}^{1} = 1^{2}$

Langkah 5.3.2.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

${(2 \cdot - 1 + 2 K)}^{1} = 1^{2}$

Langkah 5.3.2.1.3.3

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.3.3.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

${(- 2 + 2 K)}^{1} = 1^{2}$

Langkah 5.3.2.1.3.3.2

Sederhanakan.

$- 2 + 2 K = 1^{2}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- 2 + 2 K = 1$

Langkah 5.4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$2 K = 1 + 2$

Langkah 5.4.1.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$2 K = 3$

Langkah 5.4.2

Bagi setiap suku pada $2 K = 3$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Bagilah setiap suku di $2 K = 3$ dengan $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{3}{2}$

Langkah 5.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 K}{2} = \frac{3}{2}$

Langkah 5.4.2.2.1.2

Bagilah $K$ dengan $1$ .

$K = \frac{3}{2}$

Langkah 6

Substitusikan $\frac{3}{2}$ untuk $K$ dalam $x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + K)}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Substitusikan $\frac{3}{2}$ untuk $K$ .

$x = \sqrt{2 (t e^{t} - e^{t} + \frac{3}{2})}$

Langkah 6.2

Susun kembali suku-suku.

$x = \sqrt{2 (e^{t} t + \frac{3}{2} - e^{t})}$

Langkah 6.3

Untuk menuliskan $e^{t} t$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (e^{t} t \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} - e^{t})}$

Langkah 6.4

Gabungkan $e^{t} t$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{e^{t} t \cdot 2}{2} + \frac{3}{2} - e^{t})}$

Langkah 6.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \sqrt{2 (\frac{e^{t} t \cdot 2 + 3}{2} - e^{t})}$

Langkah 6.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{t} t$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} - e^{t})}$

Langkah 6.7

Untuk menuliskan $- e^{t}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} - e^{t} \cdot \frac{2}{2})}$

Langkah 6.8

Gabungkan $- e^{t}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (\frac{2 e^{t} t + 3}{2} + \frac{- e^{t} \cdot 2}{2})}$

Langkah 6.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \sqrt{2 \frac{2 e^{t} t + 3 - e^{t} \cdot 2}{2}}$

Langkah 6.10

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$x = \sqrt{2 \frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{2}}$

Langkah 6.11

Gabungkan $2$ dan $\frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{2}$ .

$x = \sqrt{\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}}$

Langkah 6.12

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.12.1

Kurangi pernyataan $\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.12.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \sqrt{\frac{2 (2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t})}{2}}$

Langkah 6.12.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \sqrt{\frac{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}{1}}$

Langkah 6.12.2

Bagilah $2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}$ dengan $1$ .

$x = \sqrt{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}$

Langkah 6.13

Susun kembali faktor-faktor dalam $x = \sqrt{2 e^{t} t + 3 - 2 e^{t}}$ .

$x = \sqrt{2 t e^{t} + 3 - 2 e^{t}}$