Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x + 1} = {(x + 1)}^{3}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $y$ dari $- \frac{2 y}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x + 1}) = {(x + 1)}^{3}$

Langkah 1.2

Susun kembali $y$ dan $- \frac{2}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x + 1} y = {(x + 1)}^{3}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - \frac{2}{x + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int - \frac{2}{x + 1} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $- \frac{2}{x + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \frac{2}{x + 1} d x}$

Langkah 2.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x + 1} d x)}$

Langkah 2.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Langkah 2.2.4

Biarkan $u = x + 1$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Biarkan $u = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 2.2.4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.2.4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.2.4.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.2.4.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{u} d u}$

Langkah 2.2.5

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| u |) + C)}$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$e^{- 2 \ln (| u |) + C}$

Langkah 2.2.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$e^{- 2 \ln (| x + 1 |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- 2 \ln (x + 1)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 2})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

${(x + 1)}^{- 2}$

Langkah 2.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ dan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Langkah 3.2.3

Gabungkan $\frac{2}{x + 1}$ dan $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{x + 1} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Langkah 3.2.4

Kalikan $- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{x + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Kalikan $\frac{2 y}{x + 1}$ dengan $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{(x + 1) {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Langkah 3.2.4.2

Kalikan $x + 1$ dengan ${(x + 1)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.2.1

Kalikan $x + 1$ dengan ${(x + 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.2.1.1

Naikkan $x + 1$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Langkah 3.2.4.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1 + 2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Langkah 3.2.4.2.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{3}$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x + 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Faktorkan ${(x + 1)}^{2}$ dari ${(x + 1)}^{3}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))$

Langkah 3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = x + 1$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y] = x + 1$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y] d x = \int x + 1 d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \int x + 1 d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \int x d x + \int d x$

Langkah 7.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x$

Langkah 7.3

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C$

Langkah 7.4

Sederhanakan.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ dan $y$ .

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Langkah 8.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + x + C$

Langkah 8.3

Kalikan kedua ruas dengan ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

Langkah 8.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x + 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

Langkah 8.4.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = (\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$

Langkah 8.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1

Sederhanakan $(\frac{x^{2}}{2} + x + C) {(x + 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{x^{2}}{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Langkah 8.4.2.1.2

Gabungkan $\frac{x^{2}}{2}$ dan ${(x + 1)}^{2}$ .

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + x {(x + 1)}^{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Langkah 8.4.2.1.3

Untuk menuliskan $x {(x + 1)}^{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot \frac{2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Langkah 8.4.2.1.4

Gabungkan $x {(x + 1)}^{2}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{2} + \frac{x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Langkah 8.4.2.1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Langkah 8.4.2.1.6

Faktorkan $x {(x + 1)}^{2}$ dari $x^{2} {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.6.1

Faktorkan $x {(x + 1)}^{2}$ dari $x^{2} {(x + 1)}^{2}$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Langkah 8.4.2.1.6.2

Faktorkan $x {(x + 1)}^{2}$ dari $x {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} (2)}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Langkah 8.4.2.1.6.3

Faktorkan $x {(x + 1)}^{2}$ dari $x {(x + 1)}^{2} (x) + x {(x + 1)}^{2} (2)$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + C {(x + 1)}^{2}$

Langkah 8.4.2.1.7

Untuk menuliskan $C {(x + 1)}^{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + C {(x + 1)}^{2} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 8.4.2.1.8

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.8.1

Gabungkan $C {(x + 1)}^{2}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2)}{2} + \frac{C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

Langkah 8.4.2.1.8.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{x {(x + 1)}^{2} (x + 2) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

Langkah 8.4.2.1.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.9.1

Faktorkan ${(x + 1)}^{2}$ dari $x {(x + 1)}^{2} (x + 2) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.9.1.1

Faktorkan ${(x + 1)}^{2}$ dari $x {(x + 1)}^{2} (x + 2)$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + C {(x + 1)}^{2} \cdot 2}{2}$

Langkah 8.4.2.1.9.1.2

Faktorkan ${(x + 1)}^{2}$ dari $C {(x + 1)}^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + {(x + 1)}^{2} (C \cdot 2)}{2}$

Langkah 8.4.2.1.9.1.3

Faktorkan ${(x + 1)}^{2}$ dari ${(x + 1)}^{2} (x (x + 2)) + {(x + 1)}^{2} (C \cdot 2)$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x (x + 2) + C \cdot 2)}{2}$

Langkah 8.4.2.1.9.2

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x \cdot x + x \cdot 2 + C \cdot 2)}{2}$

Langkah 8.4.2.1.9.3

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + x \cdot 2 + C \cdot 2)}{2}$

Langkah 8.4.2.1.9.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + 2 \cdot x + C \cdot 2)}{2}$

Langkah 8.4.2.1.9.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $C$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} (x^{2} + 2 x + 2 C)}{2}$