Kalkulus Contoh

$e^{y} d x + (2 y + x e^{y}) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = e^{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ adalah $a^{y} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{y}$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 2 y + x e^{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y + x e^{y}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 y + x e^{y}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [x e^{y}]$

Langkah 2.2.2

Karena $2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x e^{y}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $e^{y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x e^{y}$ terhadap $x$ adalah $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + e^{y} \cdot 1$

Langkah 2.3.3

Kalikan $e^{y}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + e^{y}$

Langkah 2.4

Tambahkan $0$ dan $e^{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y}$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $e^{y}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $e^{y}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$e^{y} = e^{y}$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$e^{y} = e^{y}$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{y} d x$

Langkah 5

Integralkan $M (x, y) = e^{y}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = e^{y} x + C$

Langkah 6

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{y} x + g (y)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 y + x e^{y}$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x + g (y)] = 2 y + x e^{y}$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{y} x + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{y}$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [e^{y} x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $e^{y} x$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{y}$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ adalah $a^{y} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$x e^{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 y + x e^{y}$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$x e^{y} + \frac{d g}{d y} = 2 y + x e^{y}$

Langkah 8.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + e^{y} x = 2 y + x e^{y}$

Langkah 8.5.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{d g}{d y} + e^{y} x$ .

$\frac{d g}{d y} + x e^{y} = 2 y + x e^{y}$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $x e^{y}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = 2 y + x e^{y} - x e^{y}$

Langkah 9.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 y + x e^{y} - x e^{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Kurangi $x e^{y}$ dengan $x e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y + 0$

Langkah 9.1.2.2

Tambahkan $2 y$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

Langkah 10

Temukan $2 y$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y d y$

Langkah 10.3

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$g (y) = 2 \int y d y$

Langkah 10.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 10.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Langkah 10.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$g (y) = 1 y^{2} + C$

Langkah 10.5.2.3

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$g (y) = y^{2} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = e^{y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{y} x + y^{2} + C$

Langkah 12

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = e^{y} x + y^{2} + C$ .

$f (x, y) = x e^{y} + y^{2} + C$