Kalkulus Contoh

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r θ + r}{r θ + θ}$ , $r (1) = e$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $r$ dari $r θ + r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan $r$ dari $r θ$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r}{r θ + θ}$

Langkah 1.1.2

Naikkan $r$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r^{1}}{r θ + θ}$

Langkah 1.1.3

Faktorkan $r$ dari $r^{1}$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ) + r \cdot 1}{r θ + θ}$

Langkah 1.1.4

Faktorkan $r$ dari $r (θ) + r \cdot 1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{r θ + θ}$

Langkah 1.2

Faktorkan $θ$ dari $r θ + θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $θ$ dari $r θ$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ}$

Langkah 1.2.2

Naikkan $θ$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ^{1}}$

Langkah 1.2.3

Faktorkan $θ$ dari $θ^{1}$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ r + θ \cdot 1}$

Langkah 1.2.4

Faktorkan $θ$ dari $θ r + θ \cdot 1$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r (θ + 1)}{θ (r + 1)}$

Langkah 1.3

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r}{r + 1} \cdot \frac{θ + 1}{θ}$

Langkah 1.4

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{r + 1}{r}$ .

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} (\frac{r}{r + 1} \cdot \frac{θ + 1}{θ})$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kalikan $\frac{r}{r + 1}$ dengan $\frac{θ + 1}{θ}$ .

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) θ}$

Langkah 1.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $r + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Faktorkan $r + 1$ dari $(r + 1) θ$ .

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) (θ)}$

Langkah 1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{r + 1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{(r + 1) θ}$

Langkah 1.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{θ}$

Langkah 1.5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} \cdot \frac{r (θ + 1)}{θ}$

Langkah 1.5.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{r + 1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{θ + 1}{θ}$

Langkah 1.6

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{r + 1}{r} d r = \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{r + 1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\int \frac{r}{r} + \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Langkah 2.2.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{r}{r} d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Langkah 2.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{r}{r} d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Langkah 2.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int d r + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Langkah 2.2.4

Terapkan aturan konstanta.

$r + C_{1} + \int \frac{1}{r} d r = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Langkah 2.2.5

Integral dari $\frac{1}{r}$ terhadap $r$ adalah $\ln (| r |)$ .

$r + C_{1} + \ln (| r |) + C_{2} = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ + 1}{θ} d θ$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} + \frac{1}{θ} d θ$

Langkah 2.3.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

Langkah 2.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int \frac{θ}{θ} d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

Langkah 2.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = \int d θ + \int \frac{1}{θ} d θ$

Langkah 2.3.4

Terapkan aturan konstanta.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + C_{4} + \int \frac{1}{θ} d θ$

Langkah 2.3.5

Integral dari $\frac{1}{θ}$ terhadap $θ$ adalah $\ln (| θ |)$ .

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + C_{4} + \ln (| θ |) + C_{5}$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

$r + \ln (| r |) + C_{3} = θ + \ln (| θ |) + C_{6}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $θ$ dan $e$ untuk $r$ padda $r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$ .

$e + \ln (| e |) = 1 + \ln (| 1 |) + C$

Langkah 4

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $1 + \ln (| 1 |) + C = e + \ln (| e |)$ .

$1 + \ln (| 1 |) + C = e + \ln (| e |)$

Langkah 4.2

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| 1 |) - \ln (| e |) = - 1 - C + e$

Langkah 4.3

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| e |}) = - 1 - C + e$

Langkah 4.4

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\ln (\frac{1}{| e |}) = - 1 - C + e$

Langkah 4.5

$e$ mendekati $2.71828182$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$\ln (\frac{1}{e}) = - 1 - C + e$

Langkah 4.6

Tulis kembali $\frac{1}{e}$ sebagai $1 e^{- 1}$ .

$\ln (1 e^{- 1}) = - 1 - C + e$

Langkah 4.7

Tulis kembali $\ln (1 e^{- 1})$ sebagai $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$\ln (1) + \ln (e^{- 1}) = - 1 - C + e$

Langkah 4.8

Gunakan aturan logaritma untuk memindahkan $- 1$ keluar dari eksponen.

$\ln (1) - \ln (e) = - 1 - C + e$

Langkah 4.9

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$\ln (1) - 1 \cdot 1 = - 1 - C + e$

Langkah 4.10

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\ln (1) - 1 = - 1 - C + e$

Langkah 4.11

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$0 - 1 = - 1 - C + e$

Langkah 4.12

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$- 1 = - 1 - C + e$

Langkah 4.13

Karena $C$ ada di sisi kanan persamaan, tukar sisinya sehingga berada di sisi kiri persamaan.

$- 1 - C + e = - 1$

Langkah 4.14

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $C$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.14.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$- C + e = - 1 + 1$

Langkah 4.14.2

Kurangkan $e$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- C = - 1 + 1 - e$

Langkah 4.14.3

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$- C = 0 - e$

Langkah 4.14.4

Kurangi $e$ dengan $0$ .

$- C = - e$

Langkah 4.15

Bagi setiap suku pada $- C = - e$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.15.1

Bagilah setiap suku di $- C = - e$ dengan $- 1$ .

$\frac{- C}{- 1} = \frac{- e}{- 1}$

Langkah 4.15.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.15.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{C}{1} = \frac{- e}{- 1}$

Langkah 4.15.2.2

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$C = \frac{- e}{- 1}$

Langkah 4.15.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.15.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$C = \frac{e}{1}$

Langkah 4.15.3.2

Bagilah $e$ dengan $1$ .

$C = e$

Langkah 5

Substitusikan $e$ untuk $C$ dalam $r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + C$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $e$ untuk $C$ .

$r + \ln (| r |) = θ + \ln (| θ |) + e$