Kalkulus Contoh

$e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2}) d x + e^{x^{3}} d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})]$

Langkah 1.2

Karena $e^{x^{3}}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ terhadap $y$ adalah $e^{x^{3}} \frac{d}{d y} [3 x^{2} y - x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} \frac{d}{d y} [3 x^{2} y - x^{2}]$

Langkah 1.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} y - x^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (\frac{d}{d y} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

Langkah 1.4

Karena $3 x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 x^{2} y$ terhadap $y$ adalah $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

Langkah 1.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

Langkah 1.6

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} + \frac{d}{d y} [- x^{2}])$

Langkah 1.7

Karena $- x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2} + 0)$

Langkah 1.8

Tambahkan $3 x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Langkah 1.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.9.1

Susun kembali faktor-faktor dari $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x^{3}} x^{2}$

Langkah 1.9.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = e^{x^{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{3}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{3}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Susun kembali faktor-faktor dari $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{x^{3}} x^{2}$

Langkah 2.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $3 x^{2} e^{x^{3}}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $3 x^{2} e^{x^{3}}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3}} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$3 x^{2} e^{x^{3}} = 3 x^{2} e^{x^{3}}$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{x^{3}} d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = e^{x^{3}}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = e^{x^{3}} y + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x^{3}} y + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y + g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x^{3}} y + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $e^{x^{3}} y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{3}$ .

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Langkah 8.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Langkah 8.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{3}$ .

$y (e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Langkah 8.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$y e^{x^{3}} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$y e^{x^{3}} (3 x^{2}) + \frac{d g}{d x} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Langkah 8.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + 3 e^{x^{3}} x^{2} y = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Langkah 8.5.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{d g}{d x} + 3 e^{x^{3}} x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Sederhanakan $e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1.1

Tulis kembali.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 0 + 0 + e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Langkah 9.1.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y - x^{2})$

Langkah 9.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = e^{x^{3}} (3 x^{2} y) + e^{x^{3}} (- x^{2})$

Langkah 9.1.1.4

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1.4.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) + e^{x^{3}} (- x^{2})$

Langkah 9.1.1.4.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) - e^{x^{3}} x^{2}$

Langkah 9.1.1.4.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $3 e^{x^{3}} (x^{2} y) - e^{x^{3}} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = 3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}}$

Langkah 9.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Kurangkan $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}} - 3 x^{2} y e^{x^{3}}$

Langkah 9.1.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $3 x^{2} y e^{x^{3}} - x^{2} e^{x^{3}} - 3 x^{2} y e^{x^{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.2.1

Kurangi $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ dengan $3 x^{2} y e^{x^{3}}$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}} + 0$

Langkah 9.1.2.2.2

Tambahkan $- x^{2} e^{x^{3}}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}}$

Langkah 10

Temukan $- x^{2} e^{x^{3}}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = - x^{2} e^{x^{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{2} e^{x^{3}} d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x^{2} e^{x^{3}} d x$

Langkah 10.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (x) = - \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

Langkah 10.4

Biarkan $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Kemudian $d u_{2} = 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{x^{3}} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1

Biarkan $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1.1

Diferensialkan $e^{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

Langkah 10.4.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 10.4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 10.4.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{3}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 10.4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Langkah 10.4.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1.4.1

Susun kembali faktor-faktor dari $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$3 e^{x^{3}} x^{2}$

Langkah 10.4.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

Langkah 10.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$g (x) = - \int \frac{1}{3} d u_{2}$

Langkah 10.5

Terapkan aturan konstanta.

$g (x) = - (\frac{1}{3} u_{2} + C)$

Langkah 10.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.6.1

Tulis kembali $- (\frac{1}{3} u_{2} + C)$ sebagai $- \frac{1}{3} u_{2} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{3} u_{2} + C$

Langkah 10.6.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $e^{x^{3}}$ .

$g (x) = - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = e^{x^{3}} y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

Langkah 12

Sederhanakan $f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan $e^{x^{3}}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = e^{x^{3}} y - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

Langkah 12.2

Kurangi $\frac{e^{x^{3}}}{3}$ dengan $e^{x^{3}} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Susun kembali $e^{x^{3}}$ dan $y$ .

$f (x, y) = y e^{x^{3}} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

Langkah 12.2.2

Untuk menuliskan $y e^{x^{3}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = y e^{x^{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

Langkah 12.2.3

Gabungkan $y e^{x^{3}}$ dan $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{x^{3}} \cdot 3}{3} - \frac{e^{x^{3}}}{3} + C$

Langkah 12.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (x, y) = \frac{y e^{x^{3}} \cdot 3 - e^{x^{3}}}{3} + C$

Langkah 12.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $y e^{x^{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot (y e^{x^{3}}) - e^{x^{3}}}{3} + C$

Langkah 12.3.2

Faktorkan $e^{x^{3}}$ dari $3 y e^{x^{3}} - e^{x^{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.2.1

Faktorkan $e^{x^{3}}$ dari $3 y e^{x^{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y) - e^{x^{3}}}{3} + C$

Langkah 12.3.2.2

Faktorkan $e^{x^{3}}$ dari $- e^{x^{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y) + e^{x^{3}} \cdot - 1}{3} + C$

Langkah 12.3.2.3

Faktorkan $e^{x^{3}}$ dari $e^{x^{3}} (3 y) + e^{x^{3}} \cdot - 1$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{3}} (3 y - 1)}{3} + C$