Kalkulus Contoh

$(y^{2} + 1) d x + x^{2} y^{2} d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $(y^{2} + 1) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} y^{2} d y = - (y^{2} + 1) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{2} + 1} y^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Langkah 3.2

Gabungkan $\frac{1}{y^{2} + 1}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Langkah 3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

Langkah 3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $y^{2} + 1$ dari $x^{2} (y^{2} + 1)$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) x^{2}} (y^{2} + 1) d x$

Langkah 3.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) x^{2}} (y^{2} + 1) d x$

Langkah 3.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x^{2}} d x$

Langkah 3.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Bagilah $y^{2}$ dengan $y^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$y^{2}$

$0 y$

$1$

$y^{2}$

$0 y$

$0$

Langkah 4.2.1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $y^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $y^{2}$ .

							$1$
	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$

Langkah 4.2.1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					+	$y^{2}$	+	$0$	+	$1$

Langkah 4.2.1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $y^{2} + 0 + 1$

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					-	$y^{2}$	-	$0$	-	$1$

Langkah 4.2.1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					-	$y^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Langkah 4.2.1.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int 1 - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 4.2.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int d y + \int - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 4.2.3

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 4.2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 4.2.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.1

Susun kembali $y^{2}$ dan $1$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 4.2.5.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 4.2.6

Integral dari $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ terhadap $y$ adalah $\arctan (y) + C_{2}$ .

$y + C_{1} - (\arctan (y) + C_{2}) = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 4.2.7

Sederhanakan.

$y - \arctan (y) + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 4.3.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 4.3.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int x^{- 2} d x$

Langkah 4.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4})$

Langkah 4.3.4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Tulis kembali $- (- x^{- 1} + C_{4})$ sebagai $- - \frac{1}{x} + C_{4}$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - - \frac{1}{x} + C_{4}$

Langkah 4.3.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = 1 \frac{1}{x} + C_{4}$

Langkah 4.3.4.2.2

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = \frac{1}{x} + C_{4}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y - \arctan (y) = \frac{1}{x} + K$