Kalkulus Contoh

$x^{2} (\frac{d y}{d x}) - 2 x y = x^{4} + 3$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagilah setiap suku di $x^{2} \frac{d y}{d x} - 2 x y = x^{4} + 3$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}$

Langkah 1.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 x y}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}$

Langkah 1.3

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Faktorkan $x$ dari $- 2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 y)}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 y)}{x \cdot x} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}$

Langkah 1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 y)}{x \cdot x} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}$

Langkah 1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}$

Langkah 1.4

Hapus faktor persekutuan dari $x^{4}$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{3}{x^{2}}$

Langkah 1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{3}{x^{2}}$

Langkah 1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{x^{2}}{1} + \frac{3}{x^{2}}$

Langkah 1.4.2.4

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = x^{2} + \frac{3}{x^{2}}$

Langkah 1.5

Faktorkan $y$ dari $\frac{- 2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x} = x^{2} + \frac{3}{x^{2}}$

Langkah 1.6

Susun kembali $y$ dan $\frac{- 2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = x^{2} + \frac{3}{x^{2}}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{- 2}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{- 2}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{- 2}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Langkah 2.2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Langkah 2.2.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Langkah 2.2.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.5

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{- 2}$

Langkah 2.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\frac{1}{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x^{2}}$ dan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Langkah 3.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Langkah 3.2.4

Gabungkan $\frac{2}{x}$ dan $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Langkah 3.2.5

Kalikan $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Kalikan $\frac{2 y}{x}$ dengan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Langkah 3.2.5.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.1

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Langkah 3.2.5.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Langkah 3.2.5.2.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Langkah 3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Langkah 3.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 1 + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{3}{x^{2}}$

Langkah 3.3.2

Gabungkan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 1 + \frac{1 \cdot 3}{x^{2} x^{2}}$

Langkah 3.3.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 1 + \frac{1 \cdot 3}{x^{2 + 2}}$

Langkah 3.3.3.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 1 + \frac{1 \cdot 3}{x^{4}}$

Langkah 3.3.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 1 + \frac{3}{x^{4}}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = 1 + \frac{3}{x^{4}}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int 1 + \frac{3}{x^{4}} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int 1 + \frac{3}{x^{4}} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int d x + \int \frac{3}{x^{4}} d x$

Langkah 7.2

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{x^{2}} y = x + C + \int \frac{3}{x^{4}} d x$

Langkah 7.3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$\frac{1}{x^{2}} y = x + C + 3 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Langkah 7.4

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Pindahkan $x^{4}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x + C + 3 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Langkah 7.4.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x + C + 3 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Langkah 7.4.2.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x + C + 3 \int x^{- 4} d x$

Langkah 7.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 4}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x + C + 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Langkah 7.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1.1

Gabungkan $x^{- 3}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x + C + 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Langkah 7.6.1.2

Pindahkan $x^{- 3}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = x + C + 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Langkah 7.6.2

Sederhanakan.

$\frac{1}{x^{2}} y = x + \frac{- 1}{x^{3}} + C$

Langkah 7.6.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{x^{2}} y = x - \frac{1}{x^{3}} + C$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{1}{x^{2}} y - x = - \frac{1}{x^{3}} + C$

Langkah 8.1.2

Tambahkan $\frac{1}{x^{3}}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{1}{x^{2}} y - x + \frac{1}{x^{3}} = C$

Langkah 8.1.3

Kurangkan $C$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{1}{x^{2}} y - x + \frac{1}{x^{3}} - C = 0$

Langkah 8.1.4

Gabungkan $\frac{1}{x^{2}}$ dan $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} - x + \frac{1}{x^{3}} - C = 0$

Langkah 8.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Tambahkan $x$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} - C = x$

Langkah 8.2.2

Kurangkan $\frac{1}{x^{3}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y}{x^{2}} - C = x - \frac{1}{x^{3}}$

Langkah 8.2.3

Tambahkan $C$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{y}{x^{2}} = x - \frac{1}{x^{3}} + C$

Langkah 8.3

Kalikan kedua ruas dengan $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x - \frac{1}{x^{3}} + C) x^{2}$

Langkah 8.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (x - \frac{1}{x^{3}} + C) x^{2}$

Langkah 8.4.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = (x - \frac{1}{x^{3}} + C) x^{2}$

Langkah 8.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1

Sederhanakan $(x - \frac{1}{x^{3}} + C) x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = x \cdot x^{2} - \frac{1}{x^{3}} x^{2} + C x^{2}$

Langkah 8.4.2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.2.1

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.2.1.1

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.2.1.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y = x^{1} x^{2} - \frac{1}{x^{3}} x^{2} + C x^{2}$

Langkah 8.4.2.1.2.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = x^{1 + 2} - \frac{1}{x^{3}} x^{2} + C x^{2}$

Langkah 8.4.2.1.2.1.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$y = x^{3} - \frac{1}{x^{3}} x^{2} + C x^{2}$

Langkah 8.4.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.2.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x^{3}}$ ke dalam pembilangnya.

$y = x^{3} + \frac{- 1}{x^{3}} x^{2} + C x^{2}$

Langkah 8.4.2.1.2.2.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{3}$ .

$y = x^{3} + \frac{- 1}{x^{2} x} x^{2} + C x^{2}$

Langkah 8.4.2.1.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y = x^{3} + \frac{- 1}{x^{2} x} x^{2} + C x^{2}$

Langkah 8.4.2.1.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y = x^{3} + \frac{- 1}{x} + C x^{2}$

Langkah 8.4.2.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = x^{3} - \frac{1}{x} + C x^{2}$

Langkah 8.4.2.1.4

Pindahkan $- \frac{1}{x}$ .

$y = x^{3} + C x^{2} - \frac{1}{x}$