Kalkulus Contoh

$\frac{d p}{d t} + 20 p - 240 = 0$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d p}{d t}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Kurangkan $20 p$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d p}{d t} - 240 = - 20 p$

Langkah 1.1.2

Tambahkan $240$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d p}{d t} = - 20 p + 240$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{- 20 p + 240}$ .

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{- 20 p + 240} (- 20 p + 240)$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Faktorkan $20$ dari $- 20 p + 240$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Faktorkan $20$ dari $- 20 p$ .

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{20 (- p) + 240} (- 20 p + 240)$

Langkah 1.3.1.2

Faktorkan $20$ dari $240$ .

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{20 (- p) + 20 (12)} (- 20 p + 240)$

Langkah 1.3.1.3

Faktorkan $20$ dari $20 (- p) + 20 (12)$ .

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{1}{20 (- p + 12)} (- 20 p + 240)$

Langkah 1.3.2

Kalikan $\frac{1}{20 (- p + 12)}$ dengan $- 20 p + 240$ .

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{- 20 p + 240}{20 (- p + 12)}$

Langkah 1.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 20 p + 240$ dan $20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Faktorkan $20$ dari $- 20 p$ .

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{20 (- p) + 240}{20 (- p + 12)}$

Langkah 1.3.3.2

Faktorkan $20$ dari $240$ .

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{20 (- p) + 20 \cdot 12}{20 (- p + 12)}$

Langkah 1.3.3.3

Faktorkan $20$ dari $20 (- p) + 20 (12)$ .

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{20 (- p + 12)}{20 (- p + 12)}$

Langkah 1.3.3.4

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{20 (- p + 12)}{20 (- p + 12)}$

Langkah 1.3.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{- p + 12}{- p + 12}$

Langkah 1.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $- p + 12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = \frac{- p + 12}{- p + 12}$

Langkah 1.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{- 20 p + 240} \frac{d p}{d t} = 1$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{- 20 p + 240} d p = 1 d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{- 20 p + 240} d p = \int d t$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = - 20 p + 240$ . Kemudian $d u = - 20 d p$ sehingga $- \frac{1}{20} d u = d p$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = - 20 p + 240$ . Tentukan $\frac{d u}{d p}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $- 20 p + 240$ .

$\frac{d}{d p} [- 20 p + 240]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 20 p + 240$ terhadap $p$ adalah $\frac{d}{d p} [- 20 p] + \frac{d}{d p} [240]$ .

$\frac{d}{d p} [- 20 p] + \frac{d}{d p} [240]$

Langkah 2.2.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d p} [- 20 p]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.3.1

Karena $- 20$ konstan terhadap $p$ , turunan dari $- 20 p$ terhadap $p$ adalah $- 20 \frac{d}{d p} [p]$ .

$- 20 \frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [240]$

Langkah 2.2.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ adalah $n p^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 20 \cdot 1 + \frac{d}{d p} [240]$

Langkah 2.2.1.1.3.3

Kalikan $- 20$ dengan $1$ .

$- 20 + \frac{d}{d p} [240]$

Langkah 2.2.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.4.1

Karena $240$ konstan terhadap $p$ , turunan dari $240$ terhadap $p$ adalah $0$ .

$- 20 + 0$

Langkah 2.2.1.1.4.2

Tambahkan $- 20$ dan $0$ .

$- 20$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 20} d u = \int d t$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{20}) d u = \int d t$

Langkah 2.2.2.2

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{20}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 20} d u = \int d t$

Langkah 2.2.2.3

Pindahkan $20$ ke sebelah kiri $u$ .

$\int - \frac{1}{20 u} d u = \int d t$

Langkah 2.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{20 u} d u = \int d t$

Langkah 2.2.4

Karena $\frac{1}{20}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{20}$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{20} \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Langkah 2.2.5

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{20} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$- \frac{1}{20} \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Langkah 2.2.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 20 p + 240$ .

$- \frac{1}{20} \ln (| - 20 p + 240 |) + C_{1} = \int d t$

Langkah 2.3

Terapkan aturan konstanta.

$- \frac{1}{20} \ln (| - 20 p + 240 |) + C_{1} = t + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \frac{1}{20} \ln (| - 20 p + 240 |) = t + C$

Langkah 3

Selesaikan $p$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $- 20$ .

$- 20 (- \frac{1}{20} \ln (| - 20 p + 240 |)) = - 20 (t + C)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $- 20 (- \frac{1}{20} \ln (| - 20 p + 240 |))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\ln (| - 20 p + 240 |)$ dan $\frac{1}{20}$ .

$- 20 (- \frac{\ln (| - 20 p + 240 |)}{20}) = - 20 (t + C)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\ln (| - 20 p + 240 |)}{20}$ ke dalam pembilangnya.

$- 20 \frac{- \ln (| - 20 p + 240 |)}{20} = - 20 (t + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Faktorkan $20$ dari $- 20$ .

$20 (- 1) \frac{- \ln (| - 20 p + 240 |)}{20} = - 20 (t + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$20 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - 20 p + 240 |)}{20} = - 20 (t + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- - \ln (| - 20 p + 240 |) = - 20 (t + C)$

Langkah 3.2.1.1.3

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \ln (| - 20 p + 240 |) = - 20 (t + C)$

Langkah 3.2.1.1.3.2

Kalikan $\ln (| - 20 p + 240 |)$ dengan $1$ .

$\ln (| - 20 p + 240 |) = - 20 (t + C)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| - 20 p + 240 |) = - 20 t - 20 C$

Langkah 3.3

Untuk menyelesaikan $p$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| - 20 p + 240 |)} = e^{- 20 t - 20 C}$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\ln (| - 20 p + 240 |) = - 20 t - 20 C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- 20 t - 20 C} = | - 20 p + 240 |$

Langkah 3.5

Selesaikan $p$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| - 20 p + 240 | = e^{- 20 t - 20 C}$ .

$| - 20 p + 240 | = e^{- 20 t - 20 C}$

Langkah 3.5.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$- 20 p + 240 = \pm e^{- 20 t - 20 C}$

Langkah 3.5.3

Kurangkan $240$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 20 p = \pm e^{- 20 t - 20 C} - 240$

Langkah 3.5.4

Bagi setiap suku pada $- 20 p = \pm e^{- 20 t - 20 C} - 240$ dengan $- 20$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Bagilah setiap suku di $- 20 p = \pm e^{- 20 t - 20 C} - 240$ dengan $- 20$ .

$\frac{- 20 p}{- 20} = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C}}{- 20} + \frac{- 240}{- 20}$

Langkah 3.5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 20 p}{- 20} = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C}}{- 20} + \frac{- 240}{- 20}$

Langkah 3.5.4.2.1.2

Bagilah $p$ dengan $1$ .

$p = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C}}{- 20} + \frac{- 240}{- 20}$

Langkah 3.5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.3.1.1

Sederhanakan $\frac{\pm e^{- 20 t - 20 C}}{- 20}$ .

$p = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C}}{20} + \frac{- 240}{- 20}$

Langkah 3.5.4.3.1.2

Bagilah $- 240$ dengan $- 20$ .

$p = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C}}{20} + 12$

Langkah 3.5.4.3.2

Untuk menuliskan $12$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{20}{20}$ .

$p = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C}}{20} + 12 \cdot \frac{20}{20}$

Langkah 3.5.4.3.3

Gabungkan $12$ dan $\frac{20}{20}$ .

$p = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C}}{20} + \frac{12 \cdot 20}{20}$

Langkah 3.5.4.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$p = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C} + 12 \cdot 20}{20}$

Langkah 3.5.4.3.5

Kalikan $12$ dengan $20$ .

$p = \frac{\pm e^{- 20 t - 20 C} + 240}{20}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$p = \frac{\pm e^{- 20 t + C} + 240}{20}$

Langkah 4.2

Tulis kembali $e^{- 20 t + C}$ sebagai $e^{- 20 t} e^{C}$ .

$p = \frac{\pm e^{- 20 t} e^{C} + 240}{20}$

Langkah 4.3

Susun kembali $e^{- 20 t}$ dan $e^{C}$ .

$p = \frac{\pm e^{C} e^{- 20 t} + 240}{20}$

Langkah 4.4

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$p = \frac{C e^{- 20 t} + 240}{20}$