Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (3 x)}{\sin (2 y)}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\sin (2 y)$ .

$\sin (2 y) \frac{d y}{d x} = \sin (2 y) \frac{\cos (3 x)}{\sin (2 y)}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\sin (2 y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sin (2 y) \frac{d y}{d x} = \sin (2 y) \frac{\cos (3 x)}{\sin (2 y)}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sin (2 y) \frac{d y}{d x} = \cos (3 x)$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\sin (2 y) d y = \cos (3 x) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \sin (2 y) d y = \int \cos (3 x) d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u_{1} = 2 y$ . Kemudian $d u_{1} = 2 d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u_{1} = 2 y$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Langkah 2.2.1.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 y$ terhadap $y$ adalah $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 2.2.1.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Langkah 2.2.2

Gabungkan $\sin (u_{1})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Langkah 2.2.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Langkah 2.2.4

Integral dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) = \int \cos (3 x) d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1})) + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Langkah 2.2.5.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\cos (u_{1})$ .

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Langkah 2.2.6

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 y$ .

$- \frac{\cos (2 y)}{2} + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Langkah 2.2.7

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \int \cos (3 x) d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u_{2} = 3 x$ . Kemudian $d u_{2} = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u_{2} = 3 x$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 2.3.1.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 2.3.1.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Langkah 2.3.2

Gabungkan $\cos (u_{2})$ dan $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 2.3.4

Integral dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\sin (u_{2})$ .

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \frac{1}{3} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{2}$

Langkah 2.3.6

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $3 x$ .

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin (3 x) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- \frac{1}{2} \cos (2 y) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan identitas sudut ganda untuk mengubah $\cos (2 x)$ menjadi $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 2 \sin^{2} (y)) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan $- \frac{1}{2} (1 - 2 \sin^{2} (y))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} (- 2 \sin^{2} (y)) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Langkah 3.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (- 2 \sin^{2} (y)) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Langkah 3.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$- \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} (- 2 \sin^{2} (y)) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Langkah 3.2.1.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 \sin^{2} (y)$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- \sin^{2} (y))) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Langkah 3.2.1.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- \sin^{2} (y))) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Langkah 3.2.1.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{2} - - \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Langkah 3.2.1.4

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{2} + 1 \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Langkah 3.2.1.4.2

Kalikan $\sin^{2} (y)$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} \sin (3 x) + K$

Langkah 3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Terapkan identitas sudut tiga sinus.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} (- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x)) + K$

Langkah 3.3.1.2

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{1}{3} (- 4 \sin^{3} (x)) + \frac{1}{3} (3 \sin (x)) + K$

Langkah 3.3.1.3

Kalikan $\frac{1}{3} (- 4 \sin^{3} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.3.1

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4}{3} \sin^{3} (x) + \frac{1}{3} (3 \sin (x)) + K$

Langkah 3.3.1.3.2

Gabungkan $\frac{- 4}{3}$ dan $\sin^{3} (x)$ .

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4 \sin^{3} (x)}{3} + \frac{1}{3} (3 \sin (x)) + K$

Langkah 3.3.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.4.1

Faktorkan $3$ dari $3 \sin (x)$ .

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4 \sin^{3} (x)}{3} + \frac{1}{3} (3 (\sin (x))) + K$

Langkah 3.3.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4 \sin^{3} (x)}{3} + \frac{1}{3} (3 \sin (x)) + K$

Langkah 3.3.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = \frac{- 4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K$

Langkah 3.3.1.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{2} + \sin^{2} (y) = - \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K$

Langkah 3.4

Selesaikan persamaan untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tambahkan $\frac{1}{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$\sin^{2} (y) = - \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}$

Langkah 3.4.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$\sin (y) = \pm \sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}}$

Langkah 3.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$\sin (y) = \sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}}$

Langkah 3.4.3.2

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $y$ dari dalam sinus.

$y = \arcsin (\sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}})$

Langkah 3.4.3.3

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$\sin (y) = - \sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}}$

Langkah 3.4.3.4

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $y$ dari dalam sinus.

$y = \arcsin (- \sqrt{- \frac{4 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + K + \frac{1}{2}})$

Langkah 3.4.3.5