Kalkulus Contoh

$(2 x y + y - e^{- x}) d x + x d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 2 x y + y - e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + y - e^{- x}]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x y + y - e^{- x}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- e^{- x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- e^{- x}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $y$ adalah $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- e^{- x}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- e^{- x}]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- e^{- x}]$

Langkah 1.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 1 + \frac{d}{d y} [- e^{- x}]$

Langkah 1.4.2

Karena $- e^{- x}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- e^{- x}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 1 + 0$

Langkah 1.4.3

Tambahkan $2 x + 1$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 1$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $2 x + 1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $1$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x + 1 = 1$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$2 x + 1 = 1$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $2 x + 1$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 4.2

Substitusikan $1$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x + 1 - 1}{N}$

Langkah 4.3

Substitusikan $x$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $x$ untuk $N$ .

$\frac{2 x + 1 - 1}{x}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{2 x + 0}{x}$

Langkah 4.3.2.2

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{2 x}{x}$

Langkah 4.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{x}$

Langkah 4.3.3.2

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 d x}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int 2 d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan aturan konstanta.

$μ (x, y) = e^{2 x + C}$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{2 x} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(2 x y + y - e^{- x}) d x + x d y = 0$ dengan faktor integral $e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $2 x y + y - e^{- x}$ dengan $e^{2 x}$ .

$(2 x y + y - e^{- x}) e^{2 x} d x + x d y = 0$

Langkah 6.2

Terapkan sifat distributif.

$(2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{- x} e^{2 x}) d x + x d y = 0$

Langkah 6.3

Kalikan $e^{- x}$ dengan $e^{2 x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Pindahkan $e^{2 x}$ .

$(2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - (e^{2 x} e^{- x})) d x + x d y = 0$

Langkah 6.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{2 x - x}) d x + x d y = 0$

Langkah 6.3.3

Kurangi $x$ dengan $2 x$ .

$(2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}) d x + x d y = 0$

Langkah 6.4

Kalikan $x$ dengan $e^{2 x}$ .

$(2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}) d x + x e^{2 x} d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{2 x} d y$

Langkah 8

Integralkan $N (x, y) = x e^{2 x}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = x e^{2 x} y + C$

Langkah 9

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{2 x} y + g (x)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{2 x} y + g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x e^{2 x} y + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x e^{2 x} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x e^{2 x} y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x e^{2 x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Langkah 11.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = e^{2 x}$ .

$y (x \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Langkah 11.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$y (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Langkah 11.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$y (x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Langkah 11.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$y (x (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Langkah 11.3.4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (x (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Langkah 11.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y (x (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Langkah 11.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y (x (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Langkah 11.3.7

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y (x (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Langkah 11.3.8

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2 x}$ .

$y (x (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Langkah 11.3.9

Kalikan $e^{2 x}$ dengan $1$ .

$y (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + \frac{d g}{d x} = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Langkah 11.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Terapkan sifat distributif.

$y (x (2 e^{2 x})) + y e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Langkah 11.5.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} x y + e^{2 x} y = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Langkah 11.5.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} x y + e^{2 x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x}$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Kurangkan $2 x y e^{2 x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} + y e^{2 x} = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x} - 2 x y e^{2 x}$

Langkah 12.1.2

Kurangkan $y e^{2 x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x} - 2 x y e^{2 x} - y e^{2 x}$

Langkah 12.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $2 x y e^{2 x} + y e^{2 x} - e^{x} - 2 x y e^{2 x} - y e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.3.1

Kurangi $2 x y e^{2 x}$ dengan $2 x y e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + y e^{2 x} - e^{x} - y e^{2 x}$

Langkah 12.1.3.2

Tambahkan $0$ dan $y e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{2 x} - e^{x} - y e^{2 x}$

Langkah 12.1.3.3

Kurangi $y e^{2 x}$ dengan $y e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 - e^{x}$

Langkah 12.1.3.4

Kurangi $e^{x}$ dengan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - e^{x}$

Langkah 13

Temukan $- e^{x}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = - e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - e^{x} d x$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - e^{x} d x$

Langkah 13.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (x) = - \int e^{x} d x$

Langkah 13.4

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$g (x) = - (e^{x} + C)$

Langkah 13.5

Sederhanakan.

$g (x) = - e^{x} + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = x e^{2 x} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{2 x} y - e^{x} + C$

Langkah 15

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = x e^{2 x} y - e^{x} + C$ .

$f (x, y) = x y e^{2 x} - e^{x} + C$